Курсы для учителей от 800 ₽ (72 часа). Документы об окончании по почте БЕСПЛАТНО, комфортное обучение из дома

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до 16.05.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 05.05.2025 16:51

Сизова Светлана Владимировна

учитель математики

35 лет

3 629

15 568

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, село Атемар

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

"Окружность. Взаимное расположение прямой и окружности"

Категория: Геометрия

23.03.2020 17:19

Учебник: Геометрия. 7-9 классы. Учебник. Атанасян Л.С. и др. (2014, 384с.)

Просмотр содержимого документа
«"Окружность. Взаимное расположение прямой и окружности"»

ТЕМА : ” ОКРУЖНОСТЬ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ ” .

Окружность.

Окружностью называется фигура , которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки – центра окружности.
Расстояние от центра О окружности до лежащей на ней точки А равно 5 см. Докажите, что расстояние от точки О до точки В этой окружности равно 5 см , а расстояние от О до точек С и D , не лежащих на ней, не равно 5 см.

РАДИУС.

Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.
Точки X,Y,Z лежат на окружности с центром М. Является ли радиусом этой окружности

Отрезок MX;
Отрезок YZ ?

ХОРДА.

Что такое хорда окружности?
Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности .

ДИАМЕТР.

Что такое диаметр окружности?
Диаметром называется хорда, проходящая через центр.

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ

Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности.
Градусная мера центрального угла соответствует градусной мере дуги, на которую он опирается (если дуга меньше полуокружности).
Назовите по рисунку все центральные углы.

Если центральные углы данной окружности равны, то соответствующие им дуги попарно равны. Сформулируйте обратное утверждение. D О В С А назад

Если центральные углы данной окружности равны, то соответствующие им дуги попарно равны.

Сформулируйте обратное утверждение.

ВПИСАННЫЙ УГОЛ.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.
Какие из углов являются вписанными в окружность ?

Задача.

Угол ABC- вписанный в окружность. АС – диаметр. Докажите, что угол ABC - прямой .

СВОЙСТВО ВПИСАННОГО УГЛА.

Докажите, что равны все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки.

ЗАДАЧА.

Точки А, В и С лежат на окружности с центром О,  АВС = 50  ,  АВ :  СВ = 5 : 8. Найдите эти дуги и  АОС.

ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ.

Угол (  АВС), вершина которого лежит внутри окружности, измеряется полусуммой двух дуг (АС и D Е), одна из которых заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон.
 АВС = 0,5 (  D Е +  АС).

ЗАДАЧА.

Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ : КА = 3 : 4.

ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ.

Угол (  АВС), вершина которого лежит вне окружности и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг (АС и D Е), заключенных между его сторонами.
 АВС = 0,5 (  D Е +  АС).

ЗАДАЧА.

Расстояние от точки А до центра окружности радиуса 5 см равно 10 см. Через точку А проведена секущая, которая пересекает окружность в точках В и С. Найти АС, если точка В делит отрезок АС пополам.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД.

Произведение длин отрезков пересекающихся хорд равны.
Сформулируй эту теорему со словами «если», «то».
Проверь себя: «Если хорды АВ и С D пересекаются в точке М, то АМ  ВМ = СМ  D М

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩЕЙ.

Произведение длин отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной.
Если через точку М проведена секущая к окружности и касательная, причем точки А и В – точки пересечения окружности с секущей, а С – точка касания, то АМ  ВМ = СМ .

СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ КАСАТЕЛЬНОЙ.

Отрезки двух касательных, проведенных к окружности из точки вне ее, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.
Докажите теорему самостоятельно.

ЗАДАЧА.

Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В – точки касания). Найти периметр треугольника АВМ, если угол АОВ равен 120  .

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК.

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Объясните, почему окружность является геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки.

ТЕОРЕМА О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕСТЕ ТОЧЕК.

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.
Дано: а ; АВ  а ; АО = ОВ.

Доказать: а - геометрическое место точек, равноудалённых от А и В.

Будет ли теорема доказана, если установить, что любая точка прямой а равноудалена от А и В.

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР.

Серединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему.

Докажите , что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде этой окружности.

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность.
Докажите, что стороны вписанного треугольника являются хордами описанной около него окружности.
Где лежит центр окружности, описанной около треугольника?

Задача.

Где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?

ЗАДАЧА.

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 12, и 10 см.

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности Общая точка окружности и касательной называется точкой касания.
Что можно сказать о сторонах треугольника С D Е по отношению к окружности?

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности.
Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник?
Треугольник ABC- описанный около окружности. Какие из треугольников AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA- равные ?

ЗАДАЧА.

В прямоугольном треугольнике один из углов 30  . Найдите меньшую сторону треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см.

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА.

Если около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равны двум прямым углам .
Докажите:  А +  С = 180  .
Сформулируйте обратное утверждение.
Около каких четырехугольников можно описать окружность? Почему?

ЗАДАЧА.

Диагональ трапеции составляет с большим основанием угол 30  , а центр окружности, описанной возле трапеции, принадлежит этому основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 2 см.

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма длин его противоположных сторон равны.
Докажите: АВ+С D = ВС+А D .
Сформулируйте обратное утверждение.
В какие четырехугольники можно вписать окружность?