Олимпиадные задаачи по математике. Инварианты

2) Произведение чётных чисел чётно; произведение нечётных чисел нечётно; произведение чётного и нечётного числа чётно

3) чётность суммы нескольких целых чисел совпадает с чётностью количества нечётных слагаемых пример: 2+3+5+1+4=15 3+5+2+4+6=20

Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет достоинством 1 и 5 рублей?

Решение. 15 монет по 1р и 5 р. Купюра 50 р

1 и 5 – числа нечётные ,

а именно с их помощью надо разменять купюру, их количество тоже нечётное число- 15.

Применим инвариант: сумма 15 нечётных чисел есть число нечётное,

50 – число чётное,

значит разменять 5о руб. на 15 монет по 1руб. и 5 руб нельзя

На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то допишите к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Ка­кое число останется на доске?

Два одинаковых числа→0, два разных→1. Всего 15 чисел, их сумма равна 7- нечётное число . Примем за инвариант чётность количества нечётных слагаемых . Рассмотрим варианты:

1) два 0 → допишем 0 → семь 0,семь 1 → 14 чисел, сумма нечётная

2) две 1→допишем 0→девять 0, пять1 →14 чисел, сумма нечётная

3) 1 и 0 → допишем 1 → семь0,семь 1 → 14 чисел, сумма нечётная. На доске останется нечётное число

Сумма 2002 натуральных чисел — число нечётное. Каким числом: чётным или нечётным является произведение этих чисел?

Применим инвариант: чётность суммы зависит от чётности нечётных слагаемых

Решение: 2002- число чётное, а сумма по условию нечётна, значит среди 2002 чисел есть хотя бы 1 чётное число

Значит произведение чётного ( чётных) и нечётных чисел будет чётным числом.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ... 1997, 1998, 1999, 2000, 2001. Разрешается стереть с доски любые 2 числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов, на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

1, 2, 3, ... 1997, 1998, 1999, 2000, 2001. чётных 1000 нечётных 1001. Разрешается стереть с доски любые 2 числа и вместо них записать модуль их разности. Может ли остаться 0.Сумма чисел нечётна.

1) 2 неч→мод.чёт→2000ч, 999неч→сумма нечётна

2) 2 чёт→мод.чёт→2000ч,1001неч →сумма неч

3) 1 чёт,1 неч→мод. неч →2000ч, 1001неч →сумма неч.

0- чётное число, инвариант – нечётная сумма, на доске останется нечётное число

Учитель написал на листке бумаги число 10. 25 учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Решение 25 раз поменяв характер чётности числа 10 получим нечётное число.

Страницы книги пронумерованы подряд с первой до последней страницы. Хулиган Вася вырвал из разных мест книги 17 листов и сложил номера всех 34 вырванных страниц . У него получилось число 2002. Правильно ли Вася сосчитал?

101 лошадь разместили в 15 конюшнях. Почему хотя бы в одной конюшне будет обязательно нечётное число лошадей?

Решение Предположим, что в каждой конюшне чётное число лошадей. ( инвариант- сумма чётных чисел чётна).

На чудо - дереве садовник вырастил 45 бананов и 50 апельсинов. Каждый день он срывает 2 плода и тут же на дереве вырастает новый. Причем, если он срывает 2 одинаковых плода, то вырастает апельсин, а если 2 разных, то вырастает банан. Каким окажется последний плод на дереве?

Решение

Срывает 2 одинаковых плода , то вырастает апельсин, а если 2 разных, то вырастает банан.

1)2 ап→1ап→45б,49ап.

2)2б→1ап→43б,51ап

3)1б,1ап.→1б→45б,49ап.

Проведём исследование ещё. 1)2 ап→1ап→45б, 50ап.

2)2б→1ап→41б, 52ап

3)1б,1ап.→1б→45б, 48ап

Неизменно- нечётное число бананов ( инвариант)