Олимпиадные задачи по математике -7 класс (с решением)

Олимпиадные задачи по математике (7 класс) с решением

ЗАДАЧА 1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 108°. Найти отношения длин двух биссектрис неравных углов.

Решение.

По условию задан равнобедренный треугольник, то есть такой треугольник, у которого равны две стороны. Согласно свойствам треугольников: против равных сторон лежат равные углы.

Обозначим данный равнобедренный треугольник ABC, проведем АМ параллельно НN, получаем, что ⦟ C = 180° - 108°= 72/2 = 36°

⦟HBC = 108°/2 = 54°. Далее проведем НN параллельно АМ, тогда ⦟ САМ = 36°/2 = 18°

⦟BHN = 90° - 18° = 72°. Получается, что ⦟HNB = 180° - (72°+54°) = 180°-126° = 54°. Треугольник BHN равнобедренный, следовательно, BH = HN = ½ АМ,

таким образом, отношения длин двух биссектрис BH : АМ = 1 : 2

Ответ: отношения длин двух биссектрис неравных углов будут

1 : 2

ЗАДАЧА 2. Решите в целых числах уравнение

71х + 13у = ху – 14

Решение.

xy -13y – 71x -14 = 0 (*)

ВНИМАНИЕ ЗАПОМНИ:(х – 13)∙(у – 71) = ху – 13у – 71х +923, сравним с (*)

у нас не +923, а -14, поэтому (х – 13)∙(у – 71) = 937 (923 + 14 = 937)

Так как число 937 простое, то запишем системы уравнений:

Ответ: (14;1008), (950;72)

ЗАДАЧА 3. На боковой стороне равнобедренного треугольника АВС взяты точки М и N (М лежит между В и N) так, что AN = MN и угол ВАМ = углу NAC. Доказать, что угол МАС = 60°.

Решение.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть ⦟MAN=⦟AMN=α, ⦟ВАМ=⦟NAC=β, ⦟ANM=γ. Продлим АС до длины АМ (до точки R), соединим М и R. В полученном треугольнике AMR ⦟CMR=β, ⦟ARM=α+β, получается в треугольнике CMR ⦟MCR=180°-γ+β, → ⦟ MCR+⦟CRM+⦟CMR=180°=180°-γ+β+α+β+β.

γ=3β+α

В треугольнике AMN ⦟MAN=⦟AMN=α, ⦟MNA=γ, следовательно, γ=180°-2α.

3β+α=180°-2α

β=60°-α

α+β = 60°= ⦟MAC, что и требовалось доказать.

Ответ: угол МАС = 60°