В курсе планиметрии вы познакомились с понятием окружности и круга. Вспомним, что окружность — это множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центр окружности). Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. | |
Аналогично понятию окружности на плоскости вводится понятие сферы в пространстве. Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называется сферой. | |
Данная точка — центр сферы (на рисунке точка О). Данное расстояние — радиус сферы (на рисунке — отрезок ОС). Радиусом сферы также называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой сферы. Диаметром сферы называют отрезок, проходящий через центр и любые две точки сферы (на рисунке — отрезок DC). Аналогично диаметру окружности, диаметр сферы равен двум радиусам. | О – центр сферы ОС – радиус сферы R DC-диаметр сферы D D = 2R |
Шаром называется тело, ограниченное сферой. Существует и другое определение шара — шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек. Очевидно, что центр, радиус, диаметр сферы являются центром, радиусом, диаметром шара. | Шар - тело, ограниченное сферой. Или: Шар радиуса R с центром в точке О - тело, содержащее все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек. Центр, радиус, диаметр сферы - центр, радиус, диаметр шара. |
Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра. | Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг её диаметра АВ. |
Разберём несколько задач, применяя полученные знания. Задача 1. Точки А и В лежат на сфере с центром О, О не лежит на отрезке АВ. Доказать, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ. Доказательство: 1.АО=ОВ как радиусы, АМ=МВ — по условию, тогда треугольник АОВ – равнобедренный. 2.Отрезок ОМ — медиана треугольника АОВ. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому ОМ┴АВ. Таким образом, мы доказали, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ. Что и требовалось доказать. | Дано: А и В∈ сфере, О∉АВ, АМ=МВ Доказать: ОМ┴АВ Доказательство: 1. АО=ОВ= R АМ=МВ (по условию) Δ АОВ-равнобедренный. 2.ОМ-медиана ΔАОВ ОМ-высота ОМ┴АВ ч.т.д. |
Задача 2. Точки А и В лежат на сфере радиусом R. Найти расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ=m. Решение: 1.Дополнительное построение: проведём плоскость через точки А, В и О (центр сферы). В сечении получим окружность радиуса r. 2.Треугольник АОВ — равнобедренный, так как АО и ОВ — радиусы. Дополнительное построение: проведём высоту ОМ, которая является и медианой. ОМ — искомое расстояние от центра сферы до прямой АВ. Найдём его. 3.Поскольку АВ=m, ОМ — медиана, то МА=МВ= 4. Найдём ОМ из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора: ОМ= = = Итак, расстояние от центра сферы до прямой АВ равно | Дано: А и В ∈сфере, R-радиус, АВ=m Найти: расстояние от центра сферы до прямой АВ. Решение: 1.Д.п. проведём плоскость АВО Сечение- окружность радиуса r. 2.Δ АОВ-равнобедренный (АО = ОВ-радиусы). Д.п. ОМ-высота, медиана. ОМ-расстояние от точки О до прямой АВ. 3. АВ=m, ОМ-медиана МА=МВ= 4. ΔАОМ-прямоугольный. По теореме Пифагора: ОМ= = = Ответ: ОМ= |
R – радиус сферы; d – расстояние от центра сферы до плоскости α.