Определенный интеграл
Определение определенного интеграла
Пусть функция
определена на отрезке [a, b], ab. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками
. В каждом из полученных частичных отрезков
выберем произвольную точку
и составим сумму
где
. Сумма вида (1) называется интегральной суммой для функции
на [a, b].
Обозначим через
длину наибольшего частичного отрезка разбиения: ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/03/17/s_5aacb5494d4d0/861311_9.png)
Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при
, то этот предел называется определенным интегралом от функции
по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:
или ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/03/17/s_5aacb5494d4d0/861311_13.png)
В этом случае функция
называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,
- подынтегральной функцией,
- переменной интегрирования.
Для интегрируемости функции достаточно непрерывности функции на отрезке [a, b].
Пример 7. Используя определение, вычислить интеграл
, где C – некоторое число.
Решение. Разобьем отрезок [a, b] на n произвольных частей точками
и составим соответствующую интегральную сумму (1). Так как подынтегральная функция
постоянна, то для любого выбора промежуточных точек
получим интегральную сумму вида
. Далее имеем
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/03/17/s_5aacb5494d4d0/861311_22.png)
Видим, что интегральная сумма для данной функции не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек,
и равна С(b-a). Следовательно, и ее предел при
равен той же величине.
Таким образом, по определению,
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/03/17/s_5aacb5494d4d0/861311_25.png)
Геометрический смысл определенного интеграла.
Если функция
непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b], где ab, то определенный интеграл
геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
, снизу отрезком [a, b] оси OX, а с боков отрезками прямых x=a, x=b.
![](data:image/png;base64,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)
Основные свойства определенного интеграла:
По определению ![](data:image/png;base64,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)
По определению ![](data:image/png;base64,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)
Каковы бы ни были числа a, b, c, всегда имеет место равенство
![](data:image/png;base64,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)
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е.
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAFUAAAAdCAIAAABUnLcMAAAEKUlEQVR4nO2YWShtURzGD64pIRKRJ4VM8SRP5AmZy1BCGV5kVqJEHuRKipJXhXiRJ7xQhqRIIXOGJPNQypAo3K+zdussa+9z7j6x1zl17//htPZaa6/v9615n1+fn5+6fzh+WRrAwiH539nZ8ff3d3NzsywNDWE8kv+VlZWzs7PY2FgnJyetJdWEMB7J//Pzs5+f3/T0dGpqqqZ6KkMYj+T/5eVlY2MjKSlJUzH1IYxH8l9TU2NnZ6e1mPoQxiP5J2JlZWXLy8urq6sChE2HMB7D+Xdzc+Pp6VlXV/f+/m4Nc0EMj8H/5eUl9PLz8zVSMjfE8Bj8X19fv76+IvHx8REZGbm7u/v09ESOn6WlpcLCQpSenJzgsbu7u7a2lm2lp6cHK5Y+/tbHw8ODSgi5IsvDBkfyfZgv/t/e3pCwtbWFTFRUFEWprq7u6upKS0tDenBw0Nvbm2vFw8NjZGQkLy+PPJaUlExMTKg0r6jI8rDBkvwIjME/eggrjaS3t7eDg4ORCA8PDwoKwm0kNzcXZxJy+vv7h4aGINza2npwcLC/v48BGR0dLSoqgiSgU1JSNjc3CwoKuDpoxEQXsIoYLhz7LA+J+vp6loTAZGRkBAQEsCpxcXEcTExMDFdHwT8beCckJGRubq6jowMvY3AuLi5I0dbWlo+PD1qZmZlB6d3d3dTUlIuLC/JR2tjYmJmZCfNIc3Vo476+viAj6bCwMGhxioBWpGpoaBgeHqYkBAYtr6+vsyq4OMlhcIjISYz6x/t7e3uzs7NYXRiZ0NBQWoRhcXBwQKK5uTk6Ovrw8BDzjeTjFzMN3YyBItOPq0MCG5tpRUUknX6OsCQUhlNBjhwmOTlZTmLUP0YDjeLUaWlpycrKYlXd3d2xLG9vb/v6+trb26uqqrAckIN8lNrY2KBofn4eRefn52wd2oKx8aeKmDUq/UP0+PiYU5HDVFZWKpKY8h8REYHjB+nx8fH09HRaBGKczAkJCbicY+/p7OxE01iuWLc6/f7U1tZ2dXWFPXltbY2tU15eTlpQHH9WEbtJdna2vA4+CokKC5OYmIhZw6pAnYPBdxTepXWwOy4uLvL+0ffOzs4kTccHQxEfH8/2enFx8cLCAoaCPB4dHeEXy7K0tBSJpqYm/A4MDLCUpI7pYBXlPCQgmpOTw+YAxt7eHgueVQGeMRhSh47EF/+Ojo7Y2ORk3KzDrtbb28vVub+/r6io+KtJs0LOI5//34cx+Ednu7q6ymtgtnM5WE5czo+bV+SRk3wfRvKPg/Tx8TEwMNBMSK1CGI/kf2xsDJcwbI9a66kMYTyS/8nJSa2VzAphPP///9UHbtQ4rnHV9/LysiwQDTFIkn98q+BowfXYevyLQZL845J0enpKLgxWEmKQJP+4deO2rKmSuSEGSfJvbeZ1opD+AHEV8mUWAayfAAAAAElFTkSuQmCC)
Постоянный множитель от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме их интегралов, т. е. ![](data:image/png;base64,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)
Следствие (оценка определенного интеграла)
Если функция
, то
.
Метод “интегрирования” определенных интегралов
Формула Ньютона-Лейбница
Если функция
непрерывна на отрезке [a, b] и F(x)- первообразная функции
на этом отрезке, то
![](data:image/png;base64,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)
Пример 8. Вычислить![](data:image/png;base64,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)
Решение: .
Интегрирование заменой переменной
Теорема: Пусть выполняются следующие условия.
тогда
.
Пример 9. Вычислить интеграл:
.
Решение:
Интегрирование по частям
Теорема: Пусть
определены на отрезке [a, b], тогда
![](data:image/png;base64,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)
Пример 10. Вычислить интеграл: ![](data:image/png;base64,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)
Решение:
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур.
Площадью криволинейной трапеции, ограниченной кривой
и прямыми
и отрезком [a, b] оси OX вычисляется по формуле:
a.
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAAdCAIAAABnp6gFAAADPUlEQVR4nN2XTUhqQRTHtaKSqCjCsFpmi4qWLVsWQgltDKKCzE30LYSGJC2iJxUUhNAqqCgocRGViEEQbpJAoa9FH4vwMwuCJERD7P8auN6GKBuuvHj/xeXOmXOPv3vmzJlrTjKZFP0+5fxrgM/FgnV5eVlVVVVUVCQ4DScWrJOTE5/P19TUlJ+fLzgQEQvWy8tLRUXFwcFBW1ub4EBELFjRaPT09FShUAhOw4kFa3R0NDs7W3AUvliwCFN/f7/L5XK73UIj/RVjgwiHw6WlpVqtNpFIZCJzjFjBYBBYXV1dwtJwSmFtb29PTExg51dXV19cXHz92P39fSwWo4zHx8c9PT2w393dYbiwsDA2NsZ3WFxcRF1ywz/ven5+/gprYGDAbrfX19cvLy9/+zbAisfjlHFkZGR+fl6pVOJ+bW1NKpVSDiUlJZubm52dnWTY19e3t7f3afwUVmVl5dbWVl1dHaJ/i4VXRFXxLePj42izHR0daB8YrqysrK+vA25qaur6+vrq6gqJtFgsvb29wMJbtba2np2ddXd3Uz4I8gHLZrMhw1hBRGxuboZFJpPheTILXET5AlSn021sbAQCATI8Pz8vLy/HzxweHppMpsfHR4fDUVBQADtm9Xp9e3s7mHBP+dDZQuNGee3u7sIvFAqJ3uv627RxQjnW1tby05mbm4ubycnJxsbGm5sbrCCx44q1Q3qQYLKglE8Ka2ZmZmhoCIHwncPN/ShbFFZxcTGK7+HhwWw2I/jw8DDWFBbYMSsWizF1dHSEKb/fz/f5gIXGODc39/r62tDQwM39KFv4rMB24YZ4DfS2lpYWHJ2o/dnZWfw2zlDig/Kdnp7GmmCrejwevg92XgprZ2cnfQLRe6OXSCRUtlQqFTdUq9VOp5NrNLe3t7ii+DQaDW4MBgOuq6ur/AjEh4ixnebl5aGiKSz+IqJAl5aWqKeenp4GBwfTic+IhVQVFhbyLVgyygfFSlnSZGLEQgeJRCJyuZzh2TTFgmW1WrOysrBxBKfhxIK1v78vOAel/+ifD049NJuampqysjLBgYhYsHC4ohfgCPtdWOjOXq+XtMQMiQXLaDTiUBMchS8WrEwzQW/GNI94StzMGgAAAABJRU5ErkJggg==)
b.
![](data:image/png;base64,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)
Площадь фигуры, ограниченной кривыми
и
(таких, что
) и прямыми
и отрезком [a, b] оси OX вычисляется по формуле
![](data:image/png;base64,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)
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
и
.
Решение:
Вычисление длины дуги плоской кривой.
Если кривая
на отрезке [a, b] гладкая (то есть
), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле
![](data:image/png;base64,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)
Вычисление объемов тел вращения.
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой
и прямыми
, вращается вокруг оси OX, то объем тела вращения вычисляется по формуле
![](data:image/png;base64,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)
Формально заменяя в формуле переменную x на y получим формулу для вычисления объема тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси OY
![](data:image/png;base64,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)
Если трапеция ограничена прямыми
, то
.
Площадь поверхности вращения.
Если дуга гладкой кривой
вращается вокруг оси OX, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
.
Контрольные вопросы
Что называется первообразной для функции f(x) на промежутке x.
Что называется неопределенным интегралом.
Свойства неопределенного интеграла.
Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Метод интегрирования по частям.
Что называется разбиением отрезка.
В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона – Лейбница.
Интегрирование заменой переменной.
Интегрирование по частям.
Как вычисляются площади плоских фигур.
Как вычисляется длина дуги плоской кривой.
Как вычисляются объемы тел вращения вокруг осей.
Как вычисляется площадь поверхности вращения.