Определения и формулы метематика 5 класс Виленкин

5 класс.

Натуральные числа и шкалы.

Для счета применяют натуральные числа.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

Число можно записать с помощью десяти цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Такую запись чисел называют десятичной.

Самое маленькое натуральное число -1.

Если запись натурального числа состоит из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным.

Если запись числа состоит из двух знаков – двух цифр , то его называют двузначным.

Двузначные, трехзначные и т.д. числа называют многозначными.

Для чтения многозначных чисел их разбивают , начиная справа , на группы по три цифры в каждой .Эти группы называют классами.( класс единиц, класс тысяч, класс миллионов ит.д.).

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.

Прямая не имеет ни начала ни конца.

Через две точки можно провести только одну прямую.

Часть прямой ограниченная двумя точками называетя отрезком.

Луч- часть прямой ограниченная с одной стороны.

Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями. Все деления линейки образуют шкалу. Отрезок принятый на шкале за единицу , называют единичным отрезком.

Числа соответствующие точкам на координатном луче называют координатами этих точек.

Точка с меньшей координатой лежит левее точки с больше координатой.

Сложение и вычитание натуральных чисел.

Сумма чисел не изменится при перестановке слагаемых.Это свойство сложения называют переместительным.

Сочетательное свойство сложения. Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое , а потом к полученной сумме –второе слагаемое.

От прибавления нуля число не изменяется.

Если точка С лежит на отрезке АВ , то длина отрезка АВ равна сумме длин его частей АС и СВ. Пишут АВ=АС+СВ.

Сумму длин сторон многоугольника называют периметром этого многоугольника.

Действие с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое , называют вычитанием.

Число из которого вычитают , называют уменьшаемым , а число , которое вычитают ,- вычитаемым. Результат вычитания называют разностью.

Разность двух чисел показывает , на сколько первое число больше второго, иными словами на сколько второе число меньше первого.

Для того чтобы вычесть сумму из числа , можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое , а потом из разности – второе слагаемое.

Если из числа вычесть нуль , оно не изменится.

Если из числа вычесть это число , получится нуль.

Числовые и буквенные выражения.

При решении задач иногда только записывают действия , а выполняют их потом. Полученные записи называют числовыми выражениями.

Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении ,называют значением этого выражения.

Выражение , содержащее буквы , называют буквенным выражением.

Числа , которыми заменяют букву , называют значениями этой буквы.

Буквенная запись свойств сложения и вычитания.

Переместительное свойство сложения записывают так: а+б=б+а. В этом равенстве буквы а и б могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

Сочетательное свойство сложения записывают с помощью букв так: а+(б+с)=(а+б)+с=а+б+с .Здесь а,б и с любые натуральные числа или 0.

Свойство нуля при сложении можно записать так: а+0=0+а=а. Здесь буква а может иметь любое значение.

Свойство вычитания суммы из числа записывают с помощью букв следующим образом: а- ( б+с)=а-б-с. Здесь б+с ≤ а.

Свойство вычитания числа из суммы записывают с помощью букв так: (а+б) – с = а+ ( б – с ), если с≤ б

(а+б) – с = (а - с ) +б , если с≤ а.

Свойства нуля при вычитании можно записать так: а – 0 = а ; а – а = 0.

Уравнение.

Уравнением называют равенство , содержащее букву , значение которой надо найти.

Значение буквы , при котором из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни ( или убедиться , что уравнение не имеет ни одного корня).

Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое , надо сложить вычитаемое и разность .

Чтобы найти неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого вычесть разность.

Умножение натуральных чисел и его свойства.

Умножить число а на натуральное число б – значит найти сумму б слагаемых , каждае из которых равно а.

Выражение а*б и значение этого выражения называют произведением чисел а и б . Числа а и б называют множителями.

Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей. Это свойство называют переместительным.С помощью букв его записывают так: а*б=б*а.

Чтобы умножить число на произведение двух чисел , можно сначала умножить его на первый множитель , а потом полученное произведение умножить на второй множитель.Это свойство умножения называют сочетательным. С помощью букв его записывают так: а*(б*с)=(а*б)*с. а*0=0. а*1=а.

Деление .

Действие , помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель , называют делением.

Число которое делят , называют делимым; число на которое делят , называют делителем , результат деления называют частным.Частное показывает , во сколько раз делимое больше , чем делитель.

Ни одно число нельзя делить на нуль.

При делении любого числа на 1 получается это же число.

При делении числа на это же число получается 1.

При делении нуля на число получается нуль.

Чтобы найти неизвестный множитель , надо произведение разделить на другой множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое , надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель , надо делимое разделить на частное.

Чтобы найти делимое при делении с остатком ,надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Если остаток равен нулю, то говорят , что делимое делится на делитель без остатка , или , иначе нацело.

Упрощение выражений.

Для того чтобы умножить сумму на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения. Это правило выражает распределительное свойство умножения относительно сложения. С помощью букв его записывают так: (а+б)*с = ас+бс.

Чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. Это правило называют распределительным свойством умножения относительно вычитания. С помощью букв его записывают так: (а-б)*с = ас- бс.

Порядок выполнения действий.

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени , то их выполняют по прядку слева направо.

Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок , то сначала выполняют действия второй ступени, потом действия первой ступени.

Если в выражении есть скобки , то сначала выполняют действия в скобках( учитывая при этом правила 1 и 2).

Степень числа .Квадрат и куб.

Произведение , в котором все множители равны друг другу можно записать короче а*а*а*а*а = , читают такую запись а в 5 степени. а – основание степени, 5 – показатель степени.

а*а – квадрат числа; а*а*а- куб числа.

Если в числовое выражение входят степени чисел , то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.

Прямая не имеет ни начала ни конца.

Через две точки можно провести только одну прямую.

Часть прямой ограниченная двумя точками называетя отрезком.

Луч- часть прямой ограниченная с одной стороны.

Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями. Все деления линейки образуют шкалу. Отрезок принятый на шкале за единицу , называют единичным отрезком.

Числа соответствующие точкам на координатном луче называют координатами этих точек.

Точка с меньшей координатой лежит левее точки с больше координатой.

Площади и объёмы

Чтобы найти площадь прямоугольника ,надо умножить его длину на ширину. S=ab.

Две фигуры называют равными ,если одну из них можно так наложить на вторую , что эти фигуры сопадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами.

Для измерения площадей пользуются следующими единицами: кВ.мм., кВ.см., кВ.м., кВ. км.,

1 гектар –это площадь квадрата со стороной 100м.

1 ар ( сотка)-это квадрат со стороной 10м.

Прямоугольный параллелепипед

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников.

Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней – вершинами параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед имеет 3 измерения – длину, ширину и высоту.

Куб – это прямоугольный параллелепипед , у которого все измерения одинаковы.

Для измерения объёмов применяют следующие измерения: куб.мм. ,куб.см. ,куб.м., куб.км.

1 куб. дм. называют литром.

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда , надо его длины умножить на ширину и на высоту. V=abc.

Окружность и круг

Замкнутая линия все точки которой лежат на одинаковом расстоянии от одной точки «О»,называется окружностью.

Ту часть плоскости , которая лежит внутри окружности ( вместе с самой окружностью), называют кругом.

Точку «О» называют центром окружности и круга.

Отрезок соединяющий точку окружности с центром называют радиусом. Все радиусы одной окружности равны.

Отрезок соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , поэтому диаметр окружности в 2 раза длиннее ее радиуса.

Диаметр делит круг на 2 полукруга , а окружность – на 2 полуокружности.

Часть окружности между двумя точками называют дугой окружности.

Доли. Обыкновенные дроби.

Долю ½ называют половиной , 1/3 – третью ,а ¼ -четвертью.

Записи вида а/в называют обыкновенными дробями. В дроби а/в число а -называют числителем дроби, число в- знаменателем дроби.

Две равные дроби обозначают одно и то же дробное число.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та , у которой меньше числитель , и больше та , у которой больше числитель.

Дробь , в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной .

Дробь , в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

Правильная дробь меньше единицы, а неправильная больше или равна единице.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают , а знаменатель оставляют тот же.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого , а знаменатель оставляют тот же.

Чтобы разделить сумму на число , можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть ,надо: а)разделить с остатком числитель на знаменатель ; б) неполное частное будет целой частью ; в) остаток ( если он есть) дает числитель , а делитель –знаменатель дробной части.

Запись числа , содержащую целую и дробную части , называют смешанной .Говорят – смешанное число.

Смешанное число можно представить в виде неправильной дроби.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно: а) умножить его целую часть на знаменатель дроби; б) к полученному произведению прибавить числитель дробной части; в) записать полученную сумму числителем дроби , а знаменатель дробной части оставить без изменения.

При сложении ( и вычитании ) чисел в смешанной записи целые части складывают ( вычитают ) отдельно , а дробные отдельно.

Десятичные дроби.

Числа со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. условились записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть , а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой.

Если дробь правильная ,то перед запятой пишут цифру 0.

Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой.

Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче левее большей , и большая – правее меньшей.

Чтобы сложить ( вычесть ) десятичные дроби , нужно: а) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой; б) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; в) выполнить сложение ( вычитание ) не обращая внимания на запятую; (г) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Десятичные дроби сравнивают по разрядам.

Приближенные значения чисел. Округление чисел

Если а , то а- называют приближенным значением х с недостатком , а б- приближенным значением х с избытком.

Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.

Если число округляют до какого- нибудь разряда , то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой , то их отбрасывают.

Если первая отброшенная или замененная нулем цифра 5,6,7,8 или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на единицу.

Если первая отброшенная или замененная нулем цифра 0,1,2,3 или 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.

Умножение и деление десятичных дробей.

Произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых , каждое из которых равно этой дроби , а количество равно этому натуральному числу.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10,100,1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей в множители после единицы.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо: а) разделить дробь на это число , не обращая внимания на запятую; б) поставить в частном запятую , когда кончится деление целой части.Если целая часть меньше делителя , то частное начинается с нуля.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10,100,1000,…, надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе.

С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби.

Умножить число на 0,1;0,01;0,001,…- то же самое , что разделить его на 10,100,1000,… Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

Чтобы перемножить две десятичные дроби , надо: а) выполнить умножение , не обращая внимания на запятые; б) отделить запятой столько цифр справа , сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо: а) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе; б) после этого выполнить деление на натуральное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1;0,01;0,001, … , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей( то есть умножить на 10,100,1000,…).

Среднее арифметическое.

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Чтобы найти среднюю скорость на отрезке пути, надо длину этого пути разделить на время ,затраченное на его прохождение.

Проценты.

Процентом называют одну сотую часть.

Угол.

Углом называют фигуру , образованную двумя лучами , выходящими из одной точки.

Лучи , образующие угол , называют сторонами угла , а точку , из которой они выходят ,- вершиной угла.

Если один угол можно наложить на другой так , что они совпадут , то эти углы равны.

Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол ( 180 гр.)

Прямым углом называют половину развернутого угла ( 90 гр.)

Градусом называют 1/180 часть развернутого угла.