Особенности решения экономических задач (С5) профильного ЕГЭ по математике

Задача

Условие: В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в день. При этом один рабочий добывает за час 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия и 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производят сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы получить максимальную выработку сплава. Какое максимальное количество сплава можно получить при таких условиях добычи металлов?

Решение

Для решения такого типа задач удобно представить полученную информацию в табличном виде. Но в начале решения введем две переменные, которые помогут нам составить математическую модель решения и в дальнейшем сформируют функцию, описывающую данный экономический процесс.

Пусть х – количество рабочих, добывающих алюминий на первой шахте, а у – количество рабочих, добывающих алюминий на второй шахте. Составим таблицу для решения данной задачи с использованием этих переменных.

По данной таблице легко увидеть, что всего за день алюминия добывается 10х+15у, а никеля 15(60-х)+10(260-у). В условии задачи сказано, что для сплава требуется 2 кг алюминия и 1 кг никеля, то есть алюминия должно быть в 2 раза больше, чем никеля. С учетом данного условия составим уравнение:

10х+15у=2(15(60-х)+10(260-у))

Упростим данное уравнение:

10х+15у=2(900-15х+2600-10у),

10х+15у=2(3500-15х-10у),

10х+15у=7000-30х-20у,

40х+35у=7000 | : 5,

8х+7у=1400.

Теперь составим функцию для решения задачи, она состоит из суммы добытого алюминия и никеля: S(x,y)=10х+15у+3500-15х-10у, то есть S(x,y)=3500-5x+5y .

Мы знаем, что 8х+7у=1400. Выразим отсюда у через х и подставим в заданную функцию, то есть:

7у=1400-8х,

.

Получим:

,

,

.

Это линейная убывающая функция, так как коэффициент при х отрицателен. Так как по условию задачи необходимо произвести наибольшее количество сплава, то максимальное значение будет достигнуто при х=0, то есть при S=4500.

Ответ: 4500 кг.