Открытый урок "Нестандартные способы решения квадратных уравнений" 8 класс

МБОУ «Ивановская средняя общеобразовательная школа»

Открытый урок

в 8б классе по теме

"Нестандартные способы решения квадратных уравнений".

(со слайдовым сопровождением)

Подготовила и провела: учитель математики

I квалификационной категории

Минаева Инна Ивановна

2015 год

Открытый урок по теме: «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Эпиграф к уроку:

Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая.делать его немного занимательным.

Паскаль

Цели:

Показать уровень усвоения программного материала по теме «Квадратные уравнения», навыкирешения квадратных уравнений с помощью применения формул корней квадратныхуравнений, изучить новый способ решения квадратных уравнений.

Развитие вычислительных навыков, навыков решения квадратных уравнений с помощьюформул, навыков нахождения дискриминанта квадратного уравнения, развитие логическогомышления,

Способствовать воспитанию рациональной организации труда, внимательности, активному участию в учебно-познавательном процессе, самостоятельности.

Оборудование к уроку: Мультимедийный проектор, памятки, «домино» - карточки для работы в парах.

Ход урока

1. Организационный момент «Настроимся на урок!»

Здравствуйте, ребята и гости нашего урока! Мы завершаем изучение темы «Квадратные уравнения». И на сегодняшнем уроке вы, ребята, покажите, что не только имеете знания по этой теме, но и умеете их применять, а я вам в этом помогу. А ещё мы заглянем за страницы учебника алгебры и познакомимся с некоторыми нестандартными способами решения квадратных уравнений.

Эпиграфом к уроку я взяла слова великого математика Паскаля: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным». В течение урока мы еще не раз вернемся к этим словам. (Слайд 2)

2. Проверка домашнего задания.

Начнем урок с проверки домашнего задания. Проверим №549. (Слайды 3, 4)

3. Устная работа

Вспомнить основные способы решения квадратных уравнений (слайд 5).

1. х²-7х = 0;                4. 3х² +2х – 1 = 0;

2. х² + 6х + 5 = 0;       5. х² – 16 = 0;

3. х² + 4х – 5 = 0;       6.2х²  - 5х + 3 = 0.

Вопросы к классу:

          1.  Какого вида уравнения записаны на доске?

          2. Какие квадратные уравнения называются: а) полными;  б) неполными?

          3. Укажите из данных  квадратных уравнений: а) полные; б) неполные.

               Назовите коэффициенты неполных уравнений.

           4. Какие уравнения называются приведёнными?

5. Назовите приведённые квадратные уравнения и укажите сумму и

      произведение корней этих уравнений.

           6. Как можно найти корни приведенного квадратного уравнения?

4. Знакомство с нестандартными способами решения уравнений.

Как можно решить уравнения 2, 3, 4,6?

При решении квадратных уравнений, кроме известных приёмов и формул часто удобно

применять другие методы, с которыми мы сегодня познакомимся.

Первый способ: (использование свойствкоэффициентов квадратного уравнения).

Решите уравнения 2,3,4,6на местах, каждая парта – пара, каждый ряд –   группа.  Через 10 мин. ответы на экране.

          Провести анализ результатов решённых уравнений: сравнить ответы, найти общее и

отличие. Обратить внимание на коэффициенты уравнений,     установить связь между суммой коэффициентов уравнения и его корнями.

На экране:

 х² + 6х + 5 = 0           3х² +2х – 1 = 0              х² + 4х – 5 = 0               2х²  – 5х + 3 = 0

a = 1, b = 6, c = 5       a = 3, b = 2, c = –1       a = 1, b = 4, c = – 5      a = 2, b = – 5, c = 3

a + c = b                       a + c = b                       a + b +c = 0                  a + b + c = 0

x₁ = – 1, x₂ = – -5       x₁ = – 1, x₂ = 1/3          x₁ = 1, x₂ = – 5              x₁ = 1, x₂ = 3/2

(учащиеся замечают, что для коэффициентов в уравнениях существует  определенная связь).

Памятка №1

При решении уравнения ax²+bx +c =0, (a ≠ 0) можно пользоваться следующим

правилом:

1. Если a+b+c=0, то х₁ = 1, x₂ = с/а;

2. Если a+c=b, то x₁ = -1, x₂ = - с/а.

Замечание: При решении полного квадратного уравнения полезно сначала проверить, является ли число 1(число -1) его корнем. Если да, то воспользоваться правилом №1 (правилом №2).

Творческое задание. Составить два уравнения, коэффициенты которых обладают даннымиспособами, и найти их корни (два ученика у доски решают свои уравнения).

Второй способ:  (способ «переброски» старшего   коэффициента).

Каким способом можно решить уравнение 2х² – 11х + 15 = 0? (по формуле). Это уравнение можно решить другим способом. Рассмотрим его (слайд).

Умножить обе части уравнения на 2, получим   2² х²- 2*11х+ 2*15=0               

Пусть 2х = t, получим t² – 11t +30 =0, по теореме обратной теореме Виета найдем корни:

  t₁ = 5, t₂ = 6. 

Затем найдем корни исходного уравнения, следующим образом:

                        2х₁ = 5         и          2х₂ = 6   

                         х₁ = 2,5                   х₂ = 3                                                                      

        Ответ: 2,5; 3

Памятка №2

Умножим обе части уравнения на a ≠ 0, получим , а²х² + аbх +ас = 0.

 Пусть ах = t, получим t² + bt + ас = 0,

 t₁,  t₂  найдем по теореме обратной теореме Виета.

 Имеем ах₁ = t₁   и    ах₂ = t₂,

 тогда х₁ = t₁/а  и     х₂ = t₂/а

  Замечание:Данный метод подходит для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами.

В некоторых случаях он позволяет решить уравнение устно.

Задание.Решить уравнения данным способом самостоятельно в парах, а затем два ученика у доски.  2х² + 7х + 6 = 0,       5х² + 3х – 2 = 0.

5.      Самостоятельная работа (задание по рефлексии их деятельности).

Вернемся к эпиграфу нашего урока. Попытаемся сделать математику хотя бы сегодня на уроке немного более занимательной. Вам необходимо угадать, что же находится в черном ящике.

На каждой парте лежит по 1 экземпляру домино. Учащиеся должны его разложить, чтобы получилась «цепочка» : уравнение – больший корень и т. д.. Домино считается разложенным, если все карточки использованы, причем крайние половинки первой и последней карточки должны быть пустыми. Если же использованы не все карточки, значит, допущена ошибка.

Если все разложено верно, то перевернув карточки, можно прочитать зашифрованное слово:

Решить уравнения, надо используя один из новых методов решения уравнений (пользуясь памятками).

Решив, уравнения вы должны расшифровать слово.

Чтобы его расшифровать нужно взять больший корень уравнения. (слайд)

1 вариант                                                2 вариант

а) 2х² - 5х +3 = 0;                             а) х² - 19х + 18 = 0;

б) 2х² + 3х +1 = 0;                            б) 9х² + х - 10 = 0;

в) х² +5х - 6 = 0;                               в) 2х² + 9х + 10 = 0;

г) 5х² - х - 6 = 0;                                г) х² + 3х + 2 = 0;

д) 4х² - 37х + 9 = 0.                          е) 4х² - 17х + 4 = 0.

Через 10 минут проверить кодовые слова (на экране ключ).

1 вариант

УЧИТЕЛЬ: - Как вы думаете, какой корень может находиться в чёрном ящике?

2 вариант

Учитель: Значит, в черном ящике лежит корень какого - то цветка.

Догадайтесь, корень какого цветка лежит в чёрном ящике, если в народе о нём говорят: «Цветы ангельские, а когти дьявольские».

(РОЗА)

Видите, ребята, все в этом мире взаимосвязано: математика, русский язык, биология. Мы увидели, что слово «корень» встречается на уроках и русского языка, и биологии, и математики. И не только.

6. Немного истории (сообщение учащегося)

История  возникновения   квадратных уравнений.  

А) Индия.    Задачи   на квадратные   уравнения  встречаются уже в  499 году.

В Древней Индии были распространены  публичные соревнования в решении  трудных задач. В одной из старинных  индийских книг  говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает  звезды так ученый человек  затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и  решая алгебраические задачи». Часто они были  в стихотворной форме.

Слайд 1

б) Европа. Формулы решения квадратных уравнений в Европе  были впервые изложены в «Книге  абака» написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.  Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний  не только в  Италии, но и в Германии  Франции и в других странах. Общее правило решения  квадратных  уравнений   было  сформулировано лишь  в 1544 году Штифелем.

Слайд №2

В) Древний  Вавилон. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй  степени еще  в древности  была вызвана потребностью решать задачи связанные  с нахождением площадей земельных участков и земляными работами военного характера,  а также  с развитием  астрономии и самой математики.  Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет  до н.э. вавилоняне. Но решения были  только в виде рецептов, и отсутствовало  отрицательное число и общие методы решения квадратных  уравнений.

7. Итог урока

Учитель:

Что нового мы узнали на уроке?

Какое уравнение называется квадратным?

Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Оценивание учащихся. Сообщение домашнего задания.

8. Домашнее задание.

Составить и решить три квадратных уравнения, используя новые методы решения.

Памятка №1

При решении уравнения ax²+bx +c =0, (a ≠ 0) можно пользоваться следующим

правилом:

1. Если a+b+c=0, то х₁= 1, x₂ = с/а;

2. Если a+c=b, то x₁ = -1, x₂ = - с/а.

Замечание: При решении полного квадратного уравнения полезно сначала проверить, является ли число 1(число -1) его корнем. Если да, то воспользоваться правилом №1 (правилом №2).

Памятка №1

При решении уравнения ax²+bx +c =0, (a ≠ 0) можно пользоваться следующим

правилом:

1. Если a+b+c=0, то х₁= 1, x₂ = с/а;

2. Если a+c=b, то x₁ = -1, x₂ = - с/а.

Замечание: При решении полного квадратного уравнения полезно сначала проверить, является ли число 1(число -1) его корнем. Если да, то воспользоваться правилом №1 (правилом №2).

Памятка №1

При решении уравнения ax²+bx +c =0, (a ≠ 0) можно пользоваться следующим

правилом:

1. Если a+b+c=0, то х1 = 1, x2 = с/а;

2. Если a+c=b, то x1 = -1, x2 = - с/а.

Замечание: При решении полного квадратного уравнения полезно сначала проверить, является ли число 1(число -1) его корнем. Если да, то воспользоваться правилом №1 (правилом №2).

Памятка №1

При решении уравнения ax²+bx +c =0, (a ≠ 0) можно пользоваться следующим

правилом:

1. Если a+b+c=0, то х₁= 1, x₂ = с/а;

2. Если a+c=b, то x₁ = -1, x₂ = - с/а.

Замечание: При решении полного квадратного уравнения полезно сначала проверить, является ли число 1(число -1) его корнем. Если да, то воспользоваться правилом №1 (правилом №2).

Памятка №2

Умножим обе части уравнения на a ≠ 0, получим , а²х² + аbх +ас = 0.

 Пусть ах = t, получим t² + bt + ас = 0,

 t₁,  t₂  найдем по теореме обратной теореме Виета.

 Имеем ах₁ = t₁   и    ах₂ = t₂,

 тогда х₁ = t₁/а  и     х₂ = t₂/а

  Замечание: Данный метод подходит для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами.

Памятка №2

Умножим обе части уравнения на a ≠ 0, получим , а²х² + аbх +ас = 0.

 Пусть ах = t, получим t² + bt + ас = 0,

 t₁,  t₂  найдем по теореме обратной теореме Виета.

 Имеем ах₁ = t₁   и    ах₂ = t₂,

 тогда х₁ = t₁/а  и     х₂ = t₂/а

  Замечание: Данный метод подходит для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами.

Памятка №2

Умножим обе части уравнения на a ≠ 0, получим , а²х² + аbх +ас = 0.

 Пусть ах = t, получим t² + bt + ас = 0,

 t₁,  t₂  найдем по теореме обратной теореме Виета.

 Имеем ах₁ = t₁   и    ах₂ = t₂,

 тогда х₁ = t₁/а  и     х₂ = t₂/а

  Замечание: Данный метод подходит для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами.

Памятка №2

Умножим обе части уравнения на a ≠ 0, получим , а²х² + аbх +ас = 0.

 Пусть ах = t, получим t² + bt + ас = 0,

 t₁,  t₂  найдем по теореме обратной теореме Виета.

 Имеем ах₁ = t₁   и    ах₂ = t₂,

 тогда х₁ = t₁/а  и     х₂ = t₂/а

  Замечание: Данный метод подходит для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами.

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

У. Сойер