Памятка "Алгебраические уравнения: виды и способы решения"

Линейное уравнение с одним неизвестным - уравнение с одним

неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

aх + b = 0,

где a и b произвольные числа

Алгоритм решения линейного уравнения

1) Упростить уравнение (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, если они есть);

2) Сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

3) Привести подобные члены в обоих частях уравнения;

4) Решить уравнение вида aх = b, которое получили после приведения подобных членов. Для этого разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (если он не равен нулю).

Количество решений зависит от параметров a и b.

Если a=b=0,то уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если a=0, b 0, то уравнение не имеет корней.

Если a ,то решение любых линейных уравнений имеет единственное решение x= - .

Например:

а) 32 3x4 511x

Решение:

69x 4 511x;

9x 11x 564;

2x 3;

x 1,5.

Ответ: 1,5.

б) 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Решение:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.
5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.
0х = 0.

Ответ: любое число

в)  х + 8 = х + 5

Решение:

х – х = 5 ‒ 8.
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

Квадратное уравнение - это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где

коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Алгоритм решения квадратного уравнения по общей формуле

Чтобы решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0  нужно:

1. Определить значения a, b, c.

2. Вычислить дискриминант по формуле D = b² – 4ac и сравнить его с нулем.

3. Определить число корней, учитывая что

при D

при D = 0, один корень;

при D 0, два корня.

1. При наличии корней вычислить их по формулам

при D = 0  х=

при D 0  х₁= ; х₂=

Например:

x² − 2x − 3 = 0

Решение:

a = 1; b = −2; c = −3;

D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16 ˃ 0

D 0 , значит уравнение имеет два корня.

Ответ: -1; 3

Решение приведенного квадратного уравнения x² + px + q =0 по теореме Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е.

Уравнение имеет два одинаковых по знаку корня, если q 0. Причем

- если р

- если р 0, то оба корня отрицательные.

Уравнение имеет два различных по знаку корня, если q

Причем больший по модулю корень будет положителен, если p 0 .

Например:

4х² - 16х + 15 = 0.

Решение:

Перейдем к приведенному квадратному уравнению, для этого разделим все уравнение на 4.

х² – 4х + 3,75 = 0,

Т.К. q=3,75 0 , имеет два одинаковых по знаку корня

Т.К. p=-4

х₁ + х₂ = 4,

х₁ · х₂ = 3,75.

Тогда х₁= 1,5, х₂= 2,5

Ответ:1,5; 2,5.

Решение квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

1. Если а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁= 1,

х₂ = .

1. Если a – b + c=0, то х₁ =-1, х₂ =

Например:

а) х² - 16х + 15 = 0.

Решение:

а+ b+ с = 0  1 + (-16) + 15 = 0, то

х₁= 1, х₂ = 15.

Ответ : 1 и 15

б) 2х²+ 3х +1= 0.

Решение:

Так как 2 - 3+1=0, значит

х₁ = -1, х₂ = =

Ответ: -1 и

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

а) Если b = 0 и c≠0, тоax² + c = 0

Перенести свободный член уравнения в правую часть и разделить обе части уравнения на a

_{Так как} c≠0, то

1. Если , то уравнение имеет два корня и

3. Если , то уравнение не имеет корней, поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа

Например:

3х² – 27 = 0

Решение:

3х² – 27 = 0

3х² = 27

х² = 27:3

х² = 9

т.к. 9 ˃ 0, то 2 корня

х₁ = 3

х₂ = -3

Ответ: -3; 3

б) если с= 0 и b , то ax² + bx = 0

1. Разложить на множители левую часть уравнения x(ax+b)=0

2. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, т.е. x=0 или ax+b=0

3. Решить уравнение вида ax+b=0 при a≠0, т.е.

ax=-b

Например:

5х² + 10х = 0

Решение:

5х² + 10х = 0

х·(5х + 10) = 0

х₁=0 5х + 10 = 0

5х=- 10

х= -10 : 5

х₂= -2

Ответ: -2; 0

в) если с= 0 и b= , то ax² = 0

1. Разделить обе части уравнения на a, получим x²=0.

Уравнение имеет единственный корень

x=0

Например:

3х²= 0

Решение:

3х²= 0

х²= 0:3

х²= 0

х=0

Ответ: 0

Биквадратное уравнение –уравнения вида

ах⁴  + bx²  + c = 0, где

а ≠ 0, являющиеся квадратными относительно х²

Общий алгоритм решения биквадратных уравнений:

1. Сделать замену х² = t  и записать квадратное уравнение

at² + bt + c=0

2. Решить квадратное уравнение относительно t.

3. Произвести обратную замену и найти корни биквадратного уравнения по формуле х₁ = и х = - .

В зависимости от знака подкоренного выражения может иметь от о до четырех корней.

Например:

x⁴−5x²+6=0

Решение:

Пусть x² = t, где t ≥0. Тогда

t² − 5t + 6=0

Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
D=b²−4ac=(−5)²−4·1·6=25−24=1˃0 , два корня

t₁,₂= ; t₁= = 3 и t₂ = = 2

Произведем обратную замену

Ответ: - - ; ;

Дробно - рациональное уравнение – уравнение, обе части которого являются

рациональными выражениями, причем хотя бы один из них – дробным выражением.

Алгоритм решения дробно – рационального уравнения методом умножение крест-накрест:

1. Переписать (при необходимости) данное уравнение так, чтобы на каждой его стороне находилась одна дробь (одно рациональное выражение); только в этом случае можно воспользоваться методом умножения крест-накрест.

2. Найти все ограничения для переменной, при которых знаменатель не равен нулю (если в них содержится неизвестное).

3. Умножить числитель левой дроби на знаменатель правой.

4. Повторить это с числителем правой дроби и знаменателем левой.

5. Приравнять полученные выражения и упростить их.

6. Решите полученное уравнение, то есть найдите «неизвестное». 

7. Сравнить полученные значения с ограничениями, исключив недопустимые значения корней, и записать ответ.

Например:

.

Решение:

Найдем ограничения: х+5 х

Применяем метод умножения крест накрест.

раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

получили линейное уравнение с одной неизвестно, решим его:

(-10 )

Ответ: ─10.

Алгоритм решения дробно – рационального уравнения методом нахождение наименьшего общего знаменателя (НОЗ)

1. Перенести все выражения в левую часть, чтобы в правой остался 0.

2. Найти наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное).

3. Умножить и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби.

4. Найти все ограничения для переменной, при которых знаменатель не равен нулю (если в нем содержится неизвестное)

5. Приравнять числитель к нулю и решить уравнение, т.к. если знаменатель дроби не равен нулю, значит нулю равен числитель.

6. Найти все значения неизвестного, сравнить их с ограничениями из п. 4, исключив недопустимые значения и записать ответ.

Например:

Решение:

Приведем все дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

В данном примере общий знаменатель будет 12.

;

Ответ: 5.

Уравнение с модулем называются уравнения, в которых переменная

содержится под знаком модуля (под знаком абсолютной величины).

Алгоритм решения уравнений, содержащих модуль

1. Найти значения х, которые обращают выражение под знаком модуля в нуль.

2. Разбить множество всех чисел на несколько промежутков с помощью найденных значений.

3. Решить исходное уравнение на каждом промежутке, учитывая, что

4. Выбрать в ответ те значения, которые принадлежат выбранным промежуткам, или сделать проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение.

Например:

| х – 6 | = 9

Решение:

Найдём значение х, при котором (х – 6) обращается в нуль. Это  значение равно 6. Значит, число 6 разбивает всю числовую прямую на  два промежутка: х х Рассмотрим исходное уравнение  на каждом промежутке.

Ответ: х =15, х = - 9.