Параллельное проектирование. Основные свойства параллельного проектирования. Изображение разных фигур в параллельной проекции Урок геометрии 10 класс. Углубленный

Параллельное проектирование. Основные свойства параллельного проектирования.

10 класс углубленный

Для чего?

• Зачастую для изображения на плоскости (например, на листе бумаги) геометрических фигур, расположенных в пространстве, используется параллельное проектирование.

Определение параллельного проектирования

Пусть α — некоторая плоскость, а l — некоторая прямая, пересекающая эту плоскость.

Возьмём в пространстве произвольную точку А . Если точка А не лежит на прямой l , то проведём через точку А прямую, параллельную прямой l , и обозначим через точку Á пересечение этой прямой с плоскостью α .

Если же точка А лежит на прямой l , то обозначим через Á точку пересечения прямой l с плоскостью α .

Определение параллельного проектирования

Основные свойства параллельного проектирования  

1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка — отрезок.

Основные свойства параллельного проектирования  

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

Основные свойства параллельного проектирования  

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

Основные свойства параллельного проектирования

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Следствия

1. При параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.

2. При параллельном проектировании могут искажаться размеры отрезков и углы, но обязательно сохраняется параллельность прямых.

3. Если точка делит отрезок в отношении m:n, то проекция точки будет делить проекцию отрезка также в отношении m:n.

Следствия

Центр правильного треугольника отображается в точку пересечения медиан проекции этого треугольника, центр квадрата — в точку пересечения диагоналей проекции квадрата.

Изображение пространственных фигур

Изображением фигуры F называется любая фигура, подобная проекции этой фигуры на некоторую плоскость.

При различном выборе плоскости проекций и направления проектирования получаются различные проекции данной фигуры, а значит, и различные её изображения.

Например, вы видите фигуры, которые являются изображениями куба.

Причём изображение куба, данное на первом рисунке, не даёт представления о кубе, наглядным является изображение , которое дано на последнем рисунке.

Проекцией треугольника может быть любой треугольник

Параллелограмм проектируется в параллелограмм, так как параллельные прямые сохраняют параллельность. В частном случае за изображение прямоугольника, квадрата, ромба можно принять любой параллелограмм.

Трапеция проектируется в другую трапецию, но с сохранением параллельности оснований.

Правильный шестиугольник проектируется в искажённый шестиугольник с сохранением параллельности противолежащих сторон.

Окружность проектируется в эллипс , большая ось которого имеет длину, равную диаметру окружности.

При изображении пространственных фигур пользуются тем фактом, что фигуру, состоящую из сторон и диагоналей любого выпуклого или невыпуклого четырёхугольника, можно считать изображением треугольной пирамиды при определённом выборе направления проектирования и плоскости, на которую проектируется эта пирамида.

Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами .

Для того чтобы построить изображение призмы , достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы.

Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить её с вершинами многоугольника. Полученные отрезки будут изображать боковые рёбра пирамиды.

Решение

Решение

Источник

• https://videouroki.net/video/33-parallelnoe-proektirovanie-izobrazhenie-prostranstvennyh-figur.html