«Первообразная»

1. Постановка целей.

Продолжим изучать тему «Функция». Сегодня на уроке мы познакомимся с новым видом функции. Рассмотрим, как новая функция связана с производной, которая уже нам известна. В этом нам помогут выводы, которые мы сделаем при проверке домашней работы.

Научимся, как проверить, относится ли некоторая функция к новом вид.

Цели вынесем на доску.

1.)Дадим определение новой функции.

2)Какова связь новой функции с производной?

3)Как определить, относится ли функция к новому виду или нет?

В конце урока вернёмся к ним и посмотрим, на все ли вопросы вы сможете ответить.

2.Актуализация знаний через обсуждение домашнего задания.

Проверим домашнюю работу.

Задание 1. Найти производную функции:

а) б)

в) г).

Учитель проверяет решение домашнего задания, которое уже представлено учениками на доске:

а) 

б) 

в)

г)

По каждому примеру ставит вопросы:

С каким видом функции встречаемся?

Как найти производную этой функции?

Какие правила дифференцирования были использованы?

Задание 2. Найти закон изменения скорости v(t), для материальной точки, движущейся прямолинейно, по закону x=t²-3t.

Вспоминаем, что для выполнения этой задачи нужно решить одну проблем анализа, сформулированную Ньютоном:

Найти скорость, если путь известен. Умеем ли мы решать такие задачи? Да.

v= x'(t); в нашей задаче v=2t-3.

Дети отвечают на вопросы: что дано, что найти. Делают заключение, что задача решается дифференцированием.

3) Введение определения первообразной.

А как звучит вторая проблема анализа по Ньютону?

Скорость движения постоянно известна, найти длину пути в предложенный момент времени.

Составим задание по решению этой проблемы, используя задание 2.

Задание 3. Найти закон, по которому движется материальная точка. Известно, что её скорость меняется по закону v=2t-3.

Используя решение предыдущего задания, точка может двигаться по законуx=t²-3t. Известное нам условие v= x'(t) выполняется.

Дети отвечают на вопросы: что дано, что найти. Делают заключение, что задача решается интегрированием.

Можем ли мы теперь решить любую задачу по нахождению закона движения тела по известной скорости? Нет. Мы не умеем находить функцию по её производной.

Итак, возникла необходимость найти образ функции по виду её производной. Обобщим задачу интегрирования. Дано: f(x). Найти: F(x): F'(x) =f(x).

Такую функцию называют первообразной. Начнём знакомство.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство

F'(x) =f(x).

Найдите в учебнике это определение, прочитайте его и выделите ключевые слова.

4.)Усвоение определения первообразной через выполнение примеров на «да» и «нет».

Проверим, будет ли функция F(x) первообразной для функции f(x).Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос? Какие условия должны выполняться?

Функция F(x) будет первообразной для функции f(x) на некотором промежутке I, если:1) для любого x из этого промежутка I, выполняется равенство 2) F'(x) =f(x).

Смотрим заданные функции в таблице.

F(x)

F'(x)

f(x)

x є I

вывод

Что нового мы узнали? Что мы делали, чтобы определить, является ли функцияF(x) первообразной для функции f(x), заданной на промежутке I? Какие условия проверяли?

5)Формирование умения проверять, является ли данная функция первообразной для другой, заданной на некотором промежутке функции.

Составим алгоритм, для определения является ли данная функция F(x) первообразной для другой, заданной на некотором промежутке функции f(x).

1.Найти производную от F(x).

2.Сравнить полученный результат с видом функции f(x).

3.Проверить, определена ли и дифференцируема ли функция F(x) на заданном промежутке.

4.Сделать вывод.

Рассмотрим упражнения №983,984.Могут ли они быть решены с использованием составленного алгоритма?

Решим эти задания через заполнение таблицы, аналогичной той, которую мы уже рассматривали.

F(x)