«Пирамида. Объём и поверхность».

Урок геометрии «Пирамида. Объём и поверхность».

Дата 30.04.2020

Ход занятия:

1. Устно! Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 4, 8см. Найти ребро равновеликого ему куба. Решение: V_п=2*4*8=64см³, то V_п=V_к, V_к=а³, а=4см.)

Вопросы

• Что такое стереометрия?

• Что такое двугранный угол? Что применяется за меру двугранного угла?

• Что такое многогранный угол?

• Дайте понятие геометрического тела?

• Поверхность тела, объем тела?

• Какие тела называются равновеликими?

• Какое тело называется многогранником? Назовите элементы многогранника?

Что называется гранью многогранника? (Многоугольники из которых составлен многоугольник называется гранью). Что называется рёбрами многогранника? (Стороны грани называются рёбрами). Что называется вершинами? (Вершинами называются концы рёбер).

• Какие из этих многогранников называются выпуклыми, а какие невыпуклыми? Почему?

• Что такое призма? Элементы призмы. Виды призм. Формулы вычисления боковой, полной поверхности и объема.

• Что такое Параллелепипед? Элементы параллелепипеда. Виды параллелепипеда. 3 теоремы. Измерения параллелепипеда.

Вспомним !

записи в тетрадях:

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (основания пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины пирамиды) и всех отрезков (ребер), соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем вершины оснований.

Боковые грани – треугольники. Общие стороны боковых граней – ребра.

Высотой пирамиды -H (SO) – называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

В зависимости от числа сторон основания пирамида называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т.д. (показ)

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через 2 боковых ребра, не лежащих на одной грани, называется диагональным сечением пирамиды (SBD).

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины пирамиды, называется апофемой (SК - l).

Основные свойства правильной пирамиды:

1. Боковые ребра, боковые грани и апофемы соответственно равны.

2. Двугранные углы при основании равны.

3. Двугранные углы при боковых ребрах равны.

4. Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.

5. Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

Формулы площади полной и боковой поверхности

произвольной пирамиды, правильной пирамиды и ее объем.

1. S_полн. = S_{осн .}+ S_бок

2. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.

S_бок. = S₁ + S₂ + … + S_n , где S_1, S_2,…, S_n – площади боковых граней.

1. S_бок. = ½ ∙ P_осн ∙ l. - площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему - l).

2. , где Н- высота пирамиды

Решение задач по теме

1)В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2782…. Найдите высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата.

Р

В

Чему равен тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике?

t

А

ОТВЕТ: 147м.

2)Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 9м и 12м, все боковые ребра равны 12,5м. Высота проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Т.к. все боковые ребра равны и высота SO пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей. АО=1/2 АС, ΔАСD – прямоугольный, по т. Пифагора: (м), АО=АС/2=7,5(м)

Рассмотрим ΔАOS- прямоугольный, SO-высота, по т. Пифагора: (м) – высота – H, S_осн=AD*DC=9*12=108(м²), тогда

=1/3*108*10=360(м³). ОТВЕТ: 360м³.

Резерв

3)Сторона правильной четырехугольной пирамиды равна 10см, а боковое ребро – 12см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение: S_полн. = S_{осн .}+ S_бок

Т.к. пирамида правильная, то основание – квадрат, значит S_осн=а²=100см²,

S_бок=4SΔ, а=в=10см, с=12см, то по формуле Герона (см²).

S_полн. = S_{осн .}+ S_бок=100+48=148(см²). Ответ: 148см².

4) Высота правильной четырехугольной пирамиды = 5см, а сторона основания – 6см. Найдите боковое ребро. ( см)

1. Домашнее задание: прислать задание из приложения до 07.05.2020