Піраміда. Тематична розробка

Все про

Виховати людину математично грамотну, яка вміло використовує знання, вміння та навички, набуті в школі; володіє достатнім багажем наукових понять та є корисною для певного кола людей – це той ідеал, до якого прагне сучасний вчитель математики. Глибоко укорінилась в сьогоднішню математику гуманізація. Тобто ми вчимо математику не задля самої математики, яка займається абстракціями. Сьогоднішня математика вийшла за межі обчислень та переказування теорем з підручника.

Ми дійшли до того, що чітко усвідомлюємо, що неможливо вимагати однаково високого засвоєння навчального матеріалу від всіх учнів. Знання – в першу чергу це володіння математичними методами дослідження, методами перетворення нових знань, володіння алгоритмами та евристиками їх взаємозв’язку.

Ключовим механізмом роботи є використання принципу спіралеподібної побудови програми з математики, що дає можливість надолужити пропущене шляхом повторення, поступового ускладнення завдань та зорієнтовує математику на широке розкриття зв’язків з навколишнім середовищем.

Слово „піраміда” в геометрію ввели греки, які, як вважається, запозичили його у єгиптян, творців самих відомих пірамід у світі. Інша теорія виводить цей термін з іншого слова ”пірос”(жито) – припускають, що греки випікали хлібці у формі пірамід.

Насьогодні вже доведений той факт, що процес формування людського організму з яйцеклітини відбувається шляхом її поділу по бінарному закону. На другому етапі поділу клітини формують не квадрат, як це вважалось раніше, а тетраедр, тобто, більш досконалу з точки зору природи, фігуру. „Сотворенні з праху переходимо в прах”. Зоглянемось на гробниці – знову піраміди. Людина прагне досконалості, а зразки бере у самої природи.

Піраміда є простим многогранником. На уроках математики вперше ми зустрічаємось з пірамідою у шостому класі і можемо уявити собі, наприклад, єгипетські піраміди, у давнину всі вони вважалися чудом. На цих уявленнях базується означення піраміди. Проте, коли фараон Хеопс, котрий жив у 2551-2528 роках до нашої ери, спорудив свою гігантську усипальницю. Вона затьмарила собою усі інші. Висота піраміди Хеопса така, що всередині міг би поміститися будь-який європейський собор. На початку вона сягала майже 150 м(а точніше – 146,6 м), довжина її похилої площини – близько 235м, у основі – квадрат зі стороною, що дорівнює 230м.

Пірамідою називається многогранник, одна з граней якого – довільний многокутник, а решта – трикутники, що мають спільну вершину.

Трикутні грані називають бічними гранями, а їх спільну вершину – вершиною піраміди.

Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називають бічними ребрами.

Висотою піраміди називають перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Якщо основа піраміди – простий n- кутник, то піраміду називають

n- кутною.

Найпростішою пірамідою(і взагалі, найпростішим многогранником) є трикутна піраміда – тетраедр( що на грецькій означає „чотиригранник”): у неї найменше можливе число граней – чотири. Будь – яку її грань можна вважати основою.

Піраміда називається правильною, якщо її основа є правильний многокутник, а вершина піраміди проектується в центр основи. Ще в Давній Греції були описані правильні багатогранники. Тетраедр належить до „платонових тіл”, за йменням давньогрецького філософа Платона(428-348 до н. е.). Зокрема, тетраедр символізував вогонь.

Властивості правильної піраміди:

1. Бічні ребра правильної піраміди рівні.

2. Бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.

Дані властивості характеризують правильну піраміду, тому виходячи з них можна дати інші її означення.

1. Піраміда називається правильною, якщо її основа є правильний многокутник, а бічні ребра рівні

2. Піраміда називається правильною, якщо її бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники, основи яких належать основі піраміди.

Усі бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.

Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на сторону основи, називають апофемою.

Піраміда.

Правильна.

1. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а висота піраміди - см. Знайти:

• Довжину бічного ребра піраміди;

• Площу бічної поверхні піраміди.

1. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 12 см, а бічне ребро 7 см. Знайти:

• висоту піраміди;

• Площу бічної поверхні піраміди.

1. У правильній трикутній піраміді кожне ребро дорівнює а. Чому дорівнює повна поверхня цієї піраміди?

2. Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 4 см, а висота її основи 2 см. Знайти об’єм піраміди.

3. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а, двогранний кут при ребрі основи 30⁰. Знайти площу бічної та повної поверхонь піраміди.

4. Знайти об’єм правильної трикутної піраміди, якщо сторона основи 8 см, а висота – 12 см.

5. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см. А бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60⁰. Знайти площу повної поверхні піраміди.

6. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а, а її діагональний переріз - рівносторонній трикутник. Знайти об’єм піраміди.

7. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а, а її діагональний переріз - прямокутний трикутник. Знайти об’єм піраміди.

8. Висота правильної чотирикутної піраміди 12 см, а апофема – 15 см. Знайти площу повної поверхні піраміди.

9. Висота правильної трикутної піраміди 15см, а апофема – 17см. Знайти площу повної поверхні піраміди.

10. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 16 см і утворює з площиною основи кут 60⁰. Знайти площу бічної поверхні піраміди.

11. Знайти об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6 см, а діагональний переріз є рівностороннім трикутником.

Рівень Б.

1. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α. Знайти об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює h.

2. У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при ребрі основи дорівнює α. Знайти об’єм піраміди, якщо її бічне ребро дорівнює b.

3. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут α. Знайти об’єм піраміди.

4. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює h, а плоский кут при вершині - α. Знайти об’єм піраміди.

5. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см. Кут між її суміжними бічними гранями 120⁰. Знайти площу бічної поверхні піраміди.

6. У правильній чотирикутній піраміді через середини двох суміжних бічних ребер проведено переріз, який паралельний висоті піраміди. Знайти площу перерізу, якщо сторона основи піраміди дорівнює 8 см, а висота – 12 см.

7. Діагональ основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4см, а двогранний кут при ребрі основи – 60⁰. Знайти відстань від центра основи до бічної грані.

8. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α. Знайти об’єм піраміди, якщо її бічне ребро дорівнює b.

9. Обчислити об’єм і повну поверхню правильного тетраедра, якщо радіус кола, описаного навколо його грані дорівнює R.

10. Відстань від основи висоти правильної чотирикутної піраміди до її бічного ребра дорівнює а, а її бічне ребро утворює з площиною основи кут β. Знайти бічне ребро піраміди.

11. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює зі стороною основи кут β. Знайти бічну поверхню піраміди, якщо радіус кола, вписаного в бічну грань, дорівнює r.

12. У правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює α. Знайти повну поверхню піраміди, якщо відстань від основи її висоти до бічної грані дорівнює b.

13. У правильній трикутній піраміді висота утворює з площиною бічної грані кут β. Відстань від середини висоти до бічної грані дорівнює b. Знайти об’єм піраміди.

14. У правильній трикутній піраміді апофема утворює з її висотою кут α. Знайти повну поверхню піраміди, якщо відрізок, що сполучає основу висоти з серединою апофеми, дорівнює b.

15. У правильній чотирикутній піраміді бічна грань утворює з площиною основи кут β. Відрізок, що сполучає середину висоти піраміди з серединою апофеми, дорівнює m. . Знайти об’єм піраміди.

Рівень В.

1. Плоский кут при вершині правильної трикутної піраміди дорівнює α. Знайти кут нахилу бічного ребра до площини основи.

2. Плоский кут при вершині правильної трикутної піраміди дорівнює α. Знайти кут між бічною гранню та площиною основи.

3. Сторона правильної чотирикутної піраміди дорівнює b. Кут між суміжними бічними гранями α. Знайти бічну поверхню піраміди.

4. У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі

дорівнює α. Через сторону основи проведено площину під кутом φ до основи (α φ). Знайти площу перерізу, якщо висота піраміди дорівнює h.

Задачі практичного змісту.

1. Кристал топазу має форму правильної трикутної піраміди. Для створення додаткового заломлення його шліфують. Площина шліфування проходить через сторону основи та перпендикулярно до протилежного бічного ребра. Визначити площу утвореного перерізу, якщо сторона основи дорівнює 3 мм, а висота піраміди 5 мм.

2. Найбільшою є піраміда Хеопса. Спочатку її висота становила 147 метрів, проте, через те, що нині відсутнє облицювання піраміди, її висота натепер зменшилася на 7,5 метрів. Довжина сторони піраміди — 230 метрів. Піраміда складена з 2,3 мільйонів кам'яних блоків, які були підігнані один до одного з неперевершеною точністю. При цьому не використовувався цемент чи інші сполучні речовини. Кожен блок важить 2 тонни. Піраміда є практично монолітним спорудженням — за винятком поховальної камери і провідних до неї коридорів. Один з коридорів проходить через вершину основи перпендикулярно до протилежного бічного ребра. Знайти його довжину.

Бічні грані піраміди однаково нахилені

до площини основи.

1. Основою трикутної піраміди є рівнобедрений трикутник з основою а і кутом α при вершині. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють β. Знайти:

   • Площу повної поверхні піраміди;

   • Висоту піраміди.

2. Основою чотирикутної піраміди є ромб з гострим кутом α і меншою діагоналлю а. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють β. Знайти:

   • Площу повної поверхні піраміди;

   • Висоту піраміди.

3. Основою піраміди є ромб з гострим кутом α і більшою діагоналлю d. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом γ. Знайти об’єм піраміди.

4. Основа піраміди – трикутник з кутами α і β та радіусом описаного кола R. Знайти площу повної поверхні піраміди, якщо всі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють φ.

5. Основою піраміди є ромб зі стороною а і гострим кутом α. Бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом β. Знайти площу бічної поверхні піраміди. Обчислити, якщо а = 8 см, α = 60⁰, β = 30⁰.

6. В основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом α. Всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом β. Знайти об’єм піраміди.

7. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 13 дм, 20 дм і 21 дм. Обчислити об’єм піраміди, якщо двогранні кути при основі мають по 30⁰.

8. Основа піраміди – ромб, діагоналі якого 10 см і 16 см. Висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей і дорівнює 6,4 см. Обчислити площу повної поверхні піраміди.

9. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при основі. Основою висоти піраміди є точка перетину бісектрис, з якої до бічного ребра, що проходить через вершину кута α, проведено перпендикуляр, нахилений до площини основи під кутом φ. Довжина цього перпендикуляра дорівнює b. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо b = 12 см, α = 60⁰, φ = 30⁰.

10. В основі піраміди лежить трикутник з кутами α і β. Усі бічні грані нахилені до основи під кутом φ. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо радіус кола, вписаного в її основу дорівнює r. Обчислити, якщо

r = 12 см, α = 30 ⁰ , β = 60 ⁰, φ = 45⁰.

1. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою c і кутом α. Всі бічні грані піраміди однаково нахилені до площини основи. Бічне ребро, що містить кут α, утворює з площиною основи кут φ. Визначити радіус кола, вписаного в основу та висоту піраміди. Обчислити, якщо c = 6 см, α = 60⁰, φ = 45⁰.

Задачі практичного змісту.

1. Скільки треба взяти квадратних метрів латунного листа, щоб виготовити каркас пірамідальної форми, в основі якого ромб зі стороною 2 м та гострим кутом 30⁰. Бічні грані нахилені до основи під кутом 60⁰.

2. Свинцева деталь (питома вага свинцю 11,4) має форму піраміди, в основі якої лежить трикутник зі сторонами 3,4 та 5 см. Вершина піраміди однаково віддалена від сторін цього трикутника на 6 см. Знайти вагу деталі.

Бічні ребра піраміди однаково нахилені

до площини основи.

1. Основою трикутної піраміди є рівнобедрений трикутник з основою а і кутом α при вершині. Усі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кут β. Знайти висоту піраміди.

2. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом α. Кожне бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут γ. Знайти об’єм піраміди.

3. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом α. Висота піраміди дорівнює H. Кожне бічне ребро утворює з її основою

кут β. Знайти об’єм піраміди.

1. Основа чотирикутної піраміди – прямокутник з діагоналлю 12 см і кутом 30⁰ між діагоналями. Кожне з бічних ребер складає з основою кут 45⁰. Знайти об’єм піраміди.

2. Основою піраміди є прямокутник зі стороною а. Кут між цією стороною і діагоналлю прямокутника дорівнює α. Знайти об’єм піраміди, якщо кожне її бічне ребро нахилене до площини основи під кутом β.

3. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом 30⁰ при основі і бічною стороною 12 см. Усі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кут 60⁰. Знайти об’єм піраміди.

4. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник, площа якого дорівнює S, а кут при вершині α. Усі бічні ребра піраміди утворюють з висотою кут β. Знайти об’єм піраміди.

5. Основою піраміди – трапеція, в якої паралельні сторони – 30 см і 48 см, а висота – 13 см. Довжина кожного бічного ребра піраміди – 65 см. Знайти об’єм піраміди.

6. В основі піраміди лежить трикутник з кутом 150⁰. Бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 30⁰, а висота піраміди дорівнює 6 см. Обчислити сторону, що лежить проти даного кута трикутника.

7. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при вершині. Основою висоти піраміди є точка перетину серединних перпендикулярів, з якої до бічного ребра проведено перпендикуляр довжиною b, який утворює з висотою піраміди кут φ. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо b = 12 см, β = 60⁰, φ = 60⁰.

Задачі практичного змісту.

1. Скільки кубометрів землі потрібно привести, щоб зробити насип, який має форму піраміди, в основі якої лежить прямокутник зі сторонами 3м та 4 м, а найвища точка піраміди рівновіддалена від вершин основи на 3,5м.

2. Дах силосної башти має форму трикутної піраміди. Висота даху 2 м, сторони основи 1;2 та 2,5м.Скільки листів дахового заліза потрібно закупити для покриття даху, якщо розміри листа 0,7Х1,4(м²) і на шви пішло 10% витраченого заліза?

Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи.

1. Основа піраміди – рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою с. Бічна, грань, що містить гіпотенузу, перпендикулярна до площини основи, а бічне ребро, що не належить цій грані, нахилене до основи під кутом α. Знайти об’єм піраміди.

2. Основою піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює S. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна до основи, а дві інші нахилені під кутом α. Знайти об’єм піраміди.

3. Основа піраміди – прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом α. Бічна грань, що містить катет, протилежний до даного кута, перпендикулярна до неї , а дві інші – нахилені до неї під кутом β. Знайти об’єм піраміди.

4. Основа піраміди – прямокутний трикутник з гострим кутом α. Бічна грань, що містить гіпотенузу, перпендикулярна до основи, а дві інші – нахилені до неї під кутом β. Висота піраміди дорівнює Н. Знайти об’єм піраміди.

5. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з основою а і гострим кутом α при основі. Бічна грань піраміди, що містить основу цього трикутника, перпендикулярна до основи, а дві інші – нахилені до неї під кутом β. Знайти об’єм піраміди.

6. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з бічною стороною в і кутом β при основі. Бічна грань, що містить бічну сторону цього трикутника, перпендикулярна до основи, а дві інші – нахилені до неї під кутом α. Знайти бічну поверхню піраміди.

7. Основою піраміди МАВСД є квадрат. Ребро МВ перпендикулярне до площини основи. Грані МАД і МСД утворюють з площиною основи кут 45⁰. Знайти бічну поверхню піраміди.

8. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Одна бічна грань, що містить сторону, яка протилежна куту α, перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом φ. Знайти бічну поверхню піраміди, якщо її висота дорівнює Н.Обчислити, якщо Н = 12 см, α = 60⁰, φ = 30⁰.

9. В основі піраміди лежить правильний трикутник зі стороною а. Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом α. Знайти бічну поверхню піраміди. Обчислити, якщо

а= 6 см, α = 30⁰.

1. Основа піраміди – прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом β. Бічна грань, що містить гіпотенузу, перпендикулярна до основи, а дві інші – нахилені до неї під кутом α. Знайти бічну поверхню піраміди.

Задачі практичного змісту.

1. Скляна надбудова має форму піраміди зі стороною основи 4м, однією стороною надбудови є вертикальна цегляна стіна. Скільки листків скла розміром 0,5Х1,2 (м²) потрібно, щоб виконати роботу, якщо висота надбудови 3м?

Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи.

1. Основою піраміди є правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до основи, а третя – нахилена до неї під кутом α. Висота піраміди дорівнює Н. Знайти бічну поверхню піраміди.

2. Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом в і прилеглим до нього гострим кутом β. Дві бічні грані, що містять катети цього трикутника, перпендикулярні до основи, а третя – нахилена до неї під кутом α. Знайти бічну поверхню піраміди.

3. Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом α. Дві бічні грані, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а третя - нахилена до неї під кутом β. Знайти бічну поверхню піраміди.

4. В основі піраміди лежить ромб з тупим кутом α. Основою висоти піраміди є вершина даного кута α. Перпендикуляр, опущений з цієї вершини на одну з бічних граней, дорівнює а і утворює з площиною основи кут φ. Знайти бічну поверхню піраміди. Обчислити, якщо а – 12 см, α = 120⁰, φ =30⁰.

5. В основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні грані перпендикулярні до площини основи, а найбільше бічне ребро дорівнює в і утворює з сторонами основи відповідно кути α і β (α Знайти бічну поверхню піраміди. Обчислити, якщо в = 18 см, α = 60⁰, β = 30⁰.

6. В основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані перпендикулярні до основи, а третя – утворює з нею кут α. Відстань від основи висоти піраміди до третьої бічної грані дорівнює d. Знайти об’єм піраміди.

7. В основі піраміди лежить ромб зі стороною а і гострим кутом α. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута , перпендикулярні до основи, а дві інші нахилені під кутом β до основи. Знайти бічну поверхню піраміди.

8. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з кутом β при вершині. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а третя – нахилена до неї під кутом α. Знайти об’єм піраміди, якщо відстань від основи висоти до третьої бічної грані дорівнює в.

9. В основі піраміди лежить ромб з гострим кутом α. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута , перпендикулярні до основи, а дві інші нахилені під кутом β до основи. Відстань від основи висоти піраміди до цих граней дорівнює d. Знайти об’єм піраміди.

10. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Дві рівні бічні грані перпендикулярні до площини основи, а третя - нахилена до неї під кутом β. Знайти площу повної поверхні піраміди, якщо менше бічне ребро дорівнює d.