"Пирамида", урок геометрии в 10 классе.

Урок геометрии в 10 классе по теме:

Эпиграф

«Все на свете страшится времени,

А время страшится пирамид»

Арабская пословица

Устный счет

• Построение пирамиды

Определение

Пирамида – многогранник, составленный из n - угольника А 1 А 2 …А n и n треугольников

Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания

Вершина

P

Боковые грани

Основание

H

Боковые ребра

А n

А 2

А 1

α

Пирамиды

Треугольная пирамида (тетраэдр)

Четырехугольная пирамида

Шестиугольная пирамида

Площадь пирамиды

S полн. = S бок. + S осн.

S бок.

S осн.

Площадь пирамиды

S полн. = S бок. + S осн.

S бок.

S осн.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной , если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой

P

h

O

А n

А 3

А 1

А 2

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

Р

Дано:

PA 1 A 2 …A n – правильная пирамида

Док - ть: 1) А 1 Р = А 2 Р = … = А n Р

2)  А 1 А 2 Р =  А 2 А 3 Р = … =

=  А n -1 А n Р – р/б

О

А 3

А n

А 1

А 2

Док – во:

R

• Рассмотрим  ОРА 1 – п/у

РО – высота h, OA 1 – радиус описанной окружности R

По теореме Пифагора:

A 1 P=  h 2 + R 2

A 2 P=  h 2 + R 2 – любое боковое ребро

РА 1 = РА 2 =…= РА n

Р

h

2) т. к. РА 1 = РА 2 =…= РА n , поэтому

Боковые грани – р/б 

Основания этих  равны:

А 1 А 2 = А 2 А 3 = … = А 1 А n

т. к. А 1 А 2 …А n - правильный многоугольник

А n

О

А 1

А 2

 А 1 А 2 Р = … =  А n -1 А n Р – р/б

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины

Апофемы

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

S бок = ½dP

Док – во:

S бок = (½ad + ½ad + ½ad) =

= ½d(a + a + a)= ½dP

d

a

Историчекая справка

• Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки  в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис»  в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь ). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь . В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид

Гробницы фараонов (Египет)

Пирамиды Теотиуакана (Мексика)

Пирамиды Гуимар о.Тенерифе (Канарские острова)

Пирамиды в природе Гора Кайлас (Тибет)

Пирамиды в растениях

Пирамиды в архитектуре Стеклянная пирамида Лувра ( Париж)

Спасская башня Кремля (Москва)

Пирамиды в литературе Стих Валерия Брюсова “Пирамида-треугольник”.

Я

еле

качая

веревки,

в синели

не различая

синих тонов

и милой головки,

летаю в просторе

крылатый, как птица,

меж лиловых кустов !

Но в заманчивом взоре,

знаю блещет, алея, зарница!

И я счастлив ею без слов!

Минута отдыха

Решение задач

• Задача 1. (устно) Дана пирамида. Найти боковое ребро, если известна высота – 6, угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания равен 30°.
• Задача 2. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата

Решение задач

• № 1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45 ° . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если сторона основания равна а.

• № 2 . В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 см 2

• № 3. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее апофема равна 4 см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30 ° .

Подведение итогов

Домашнее задание:

п.32,33 учебника,№№ 239,243,244

Удивляйся росе, удивляйся цветам,

Удивляйся упругости стали.

Удивляйся тому, чему люди порой

Удивляться уже перестали.