План-конспект урока по алгебре и началам анализа 11 класс на тему: " Применение производной в различных областях науки"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ДАГЕСТАН

Подготовили и провела в 11 классе МКОУ СОШ№11 г.Избербаш

учитель математики: Омарова Заира Насруллаевна

Тема урока: Применение производной в различных областях науки.

Ход урока:

Цели:

УУД:
Добиться усвоения учащимися систематических, осознанных сведений о понятии производной, её геометрическом и физическом смысле. Показать межпредметную связь на примере математического моделирования. Показать применение производной при решении жизненно важных задач.
Научить применять полученную модель на практике.

Воспитательные:
Обучение навыкам: планирования деятельности, работы в оптимальном темпе, подведения итогов.
Развитие умения оценивать свои способности, свое положение в группе, контактировать с товарищами.
Вызвать чувства ответственности и сопереживания.

Духовно – нравственное воспитание на примере жизни выдающихся математиков.

Развивающие:
Обучение навыкам работы с компьютером.
Развитие умения находить нужную литературу, обрабатывать информацию, выполнять и оформлять научно-исследовательскую работу.
Формирование «ключевых компетенций».

Оборудование : Компьютеры, экран, проектор, раздаточный материал, творческие работы учащихся.

Замечание. За 1,5 недели до урока класс разделен на 4 группы и назначены консультанты. В группу вошли учащиеся с разными учебными возможностями. Каждая группа получила задание приготовить презентацию «Применение производной для решения задач из различных областей науки».

1. История развития дифференциального исчисления.

2. Применение производной в физике.

3. Применение производной в химии и биологии.

4. Применение производной в географии и экономике.

На подготовительном периоде и в ходе урока консультанты руководят работой группы: распределяют обязанности между учениками, организуют консультации с учителями предметниками. Урок по теме «Применение производной в различных областях науки». Урок проводится после изучения физического смысла производной, производных элементарных функций. Форма организации учебной деятельности групповая. При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ. Часть урока отводится презентациям, выполненным самими учащимися: «Применение физического смысла производной при решении физических задач», «Решение химических и биологических задач с помощью производной», «Решение задач с экономическим содержанием».

ПЛАН УРОКА

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП

Показатели выполнения психологической задачи этапа:

• доброжелательный настрой учителя и учащихся;

• быстрое включение класса в деловой ритм;

• организация внимания всех учащихся;

• кратковременность организационного момента;

• полная готовность класса и оборудования к работе.

Урок по теме «Применение производной в различных областях науки». Урок проводится после изучения физического смысла производной, производных элементарных функций. Форма организации учебной деятельности групповая. При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ. Часть урока отводится презентациям, выполненным самими учащимися: «Применение физического смысла производной при решении физических задач», «Решение химических и биологических задач с помощью производной», «Решение задач с географическим, экономическим содержанием».

II. СООБЩЕНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛИ УРОКА

Здравствуйте. Ребята! Мы с вами завершаем изучение большой и важной темы “Производная”. И сегодняшние два урока мы посвятим одному из серьезных и интересных ее разделов. (Откройте тетради. Запишите число, классная работа, тему урока.)

“ Применение производной в различных областях науки”.

Я надеюсь, что вы все хорошо подготовились к уроку и сможете показать, как знаете теоретический материал, посвященный данной теме, понимаете геометрический, механический смысл производной, алгоритмы исследования свойств функций с помощью производной. Я уверена, что вы продемонстрируете умение применять полученные знания при решении задач разного уровня сложности, а также навыки самоконтроля и самооценки.

Еще раз: Тема нашего урока «Применение производной в различных областях науки». И сегодня мы попытаемся, насколько это возможно, в рамках одного урока рассмотреть эту тему. Эпиграфом к нашему уроку хочу взять слова Лобачевского:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

На одном из первых уроков изучения производной перед вами встал вопрос:

Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?

И тогда я вам предложила поработать над проектами, т.е. провести самостоятельное исследование по теме «Производная и её применение в различных областях науки».

Вам было предложено 4 темы, список литературы, которым я вас не ограничивала. И сегодня мы увидим, насколько успешно вы справились с задачей самостоятельного отбора и перерабатывания информации.

А чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы вы шли, я выдвинула гипотезу /читаю гипотезу, /

«Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.»

В ходе исследовательской работы вы должны были либо подтвердить, либо опровергнуть данную гипотезу.

III. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ

Вначале повторим некоторые теоретические понятия. Вопросы проектируются на экран.

а) Что называется производной функции в точке х₀?

Ответ: производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Что необходимо знать для нахождения производной? Правила дифференцирования и таблицу производных.

б) В чем заключается геометрический смысл производной?

Ответ: значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в

точке M(x, f(x)). k = tg = f '(x₀).

в) В чем заключается механический смысл производной?

Ответ: производная функции y = f(x) в точке x₀ – это скорость изменения функции f (х) в точке x₀ x'(t) = (t)

Подведем итоги:

• Каков физический смысл производной перемещения?(производная перемещения-скорость)

• Можно ли найти производную скорости?( Ускорение)
  Используется ли эта величина в физике Как она называется?

• Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в этот момент? (остановка)

• Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке х; при переходе через точку х производная меняет знак ? (остановка; противоположное движение)

г) Работаем устно: Найти производные функций

V ПРОЕКТЫ УЧАЩИХСЯ.

А сейчас мы рассмотрим работы творческих групп, которые провели самостоятельные исследования по темам. Еще раз убедимся в важности роли производной в исследовании процессов окружающего мира, покажем практическую необходимость и теоретическую значимость темы "Производная".

1-я группа «Исторические сведения

Раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце 17в., т.е. при рождении нового метода.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова deriveе, которое ввёл в 1797г. Ж.Лагранж, он же ввёл современные обозначения у' , f'. Такое название отражает смысл понятия: функция f'(x) происходит из f(x), является производным от f(x). И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Г.Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и ввёл обозначение производной df/dx.

Слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum – наименьший.

II группа - «Применение физического смысла производной при решении физических задач».

III группа - «Применение производной в географии»

IV группа - «Применение в биологии»

V группа - «Применение в химии»

VI группа - «Решение задач экономическим содержанием».

Вывод. Что вы скажете о нашей гипотезе. Подтвердили мы ее или опровергли?

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.

VI. ДОМАШНЯЯ РАБОТА

1. Составить кроссворд по теме “Производная”;

2. Используя записи в тетради и учебник, повторить основные вопросы и формулы по данной теме;

3. Решить задачи (задачи распечатываются на отдельных листах и раздаются каждому учащемуся)

Домашнее задание для физиков:

А) Тело удаляется от поверхности Земли в вертикальном направлении по закону

h(t)= -3t²+ 14t +7 (t- время в секундах, h- расстояние от поверхности земли в метрах). Определите, в какой момент времени скорость тела будет 2 м/с.\

Б) Движение тела по прямой задано законом s(t) = 3t⁴– 2t +13 (t – время в секундах, s- отклонение точки от начального положения в метрах). Найдите ускорение тела в момент времени t=2.

В) Движение тела задано законом s(t)= -0,25t⁵+ 20t² 3t +4 (t- время в секундах, s-отклонение точки от начального положения в метрах). Найдите наибольшую скорость движения в метрах.

Г) Тело, массой 6 кг движется прямолинейно по закону x(t) = t²– 3t + 2 (x – расстояние от начала координат в метрах, t – время в секундах). Найдите кинетическую энергию тела через 10 секунд после начала движения.

Д) Количество протекающего через проводник электричества задается формулой

q(t) = 10^-3sint, (t – время в секундах). Найдите силу тока в момент времени t = 3

Домашнее задание для будущих химиков

Задание №1.

Смесь состоит из серы(S) и кислорода(O₂). Требуется найти концентрацию кислорода(O₂), при которой сера(S) реагирует с наибольшей скоростью.

Задание №2.

При какой концентрации азота(N₂) и водорода(H₂) реакция будет достигать наивысшей скорости, если в результате их взаимодействия образуется аммиак(NH₃).

Домашнее задание для будущих биологов:

Задание №1.

 В среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность (p) популяции возрастает по закону p(t)= 1000 + , где t выражается в часах.

Найти максимальный размер этой популяции и проанализировать результат.

 Задание №2.

Рассчитайте на основании имеющихся данных, как будет меняться

плотность популяции мушек дрозофил через год и 2 года, если

плотность популяции составляет 256000 особей/га. За период

размножения из одной кладки яиц в среднем выживает 22 особи. В

популяции равное число самцов и самок. Смертность дрозофил постоянна,

в среднем за год погибает 36% особей. Найти скорость роста численности

популяции в год. Полученные данные проанализировать.

Домашнее задание для будущих экономистов:

Задача №1

Цементный завод производит X тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск не может превышать 90 тонн в день.

Определить:

1) при каком объёме производства удельные затраты производства будут наибольшими ( наименьшими);

2) выгодно ли строительной фирме быть единственным партнёром завода?

Функция суммарных затрат имеет вид: K(x)= - x³ + 98x² + 200x

Задача №2

Пусть функция затрат при производстве апатитового концентрата имеет вид:

К(Х)=

Определить предельные издержки производства при увеличении объёма выпуска на x=2 единицы и на x=10 единиц.

Вопрос: выгодно ли данномупредприятию наращиватьпроизводство, если уровень затрат не изменится?

VII. ИТОГ УРОКА.

6. Подведение итогов. Рефлексия

Учитель отмечает, что благодаря огромной подготовительной работе учащихся, проведен очень интересный урок. Учитель объявляет оценки и просит учащихся проанализировать свою деятельность на уроке:

1. Удовлетворен ли ты своей работой на уроке?

а) да; б) частично;
в) нет; г) затрудняюсь ответить.

2. Каким образом ты собираешься устранить пробелы?
а) спросить у учителя; б) спросить у товарища;
в) справлюсь сам; г) не знаю.

3. Смог бы объяснить процесс решения задачи своему товарищу?
а) да; б) частично;

в) нет; г) затрудняюсь ответить;

4. Какую форму работы на уроке ты предпочитаешь?
а) индивидуальную; б) парную;
в) групповую; г) всем классом.

Выбери картинку, соответствующую твоему настроению на уроке:

Лист самоконтроля»

Если вы набрали за все виды деятельности От 14 до 17 баллов –«3»

От 18 до 25 баллов – «4»

От 26 до 31 баллов – «5»

После каждого блока работы оцениваем свою деятельность выставлением балла в «Лист самоконтроля»