План – конспект урока по геометрии с использованием ЭОР по теме: «Теорема косинусов»

Класс: 9 класс

Цель урока:

Развитие у учащихся пространственного воображения и логического мышления путем изучения теоремы косинусов и применения этих знаний при решении задач вычислительного и конструктивного характера.

Задачи урока:

1. Обучающая: отрабатывать применение данной теоремы при решении задач, совершенствовать навыки решения задач;

2. Развивающая: развитие познавательной активности, творческих способностей, мышления, умения анализировать и обобщать, переносить знания из одной ситуации в другую;

3. Воспитательная: воспитание чувства ответственности каждого учащегося, интереса к предмету с привлечением мультимедийных возможностей компьютера и элементов занимательности;

4. Методическая: показать применение методов дифференцированной работы при решении задач.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, чертежные принадлежности, презентация, выполненная в редакторе Microsoft Power Point, ноутбуки.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная в режиме самоконтроля и взаимоконтроля.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

Оборудование урока: ноутбук, мультимедийный проектор

План урока

Этапы урока

1. Организационный момент – 2 мин

2. Актуализация опорных знаний и проверка домашнего задания – 5 мин

3. Изучение нового материала – 10 мин

4. Решение задач –13 мин

5. Проверка усвоения (тест) – 10 мин

6. Подведение итогов – 2 мин

7. Домашнее задание – 2 мин

8. Рефлексия – 1 мин

Ход урока

Организационный момент.

Проверка готовности рабочего места к уроку (приветствие, проверка готовности к уроку, рабочих тетрадей, письменных принадлежностей).

Актуализация опорных знаний.

Сообщение темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний

Этап подготовки к восприятию нового материала. (Фронтальная работа с классом)

1. Повторение. Повторить понятие о косинусе угла:

• определение;

• значения косинусов некоторых углов от от 0^о до 90^о

• свойство косинусов равных углов;

• свойство косинусов смежных углов;

• свойство косинусов углов, значения которых увеличиваются от 0^о до 90^о.

2.Новый материал

Историческая справка: Впервые теорема косинусов была доказана учёным – математиком аль-Бируни (973-1048 г.г.). С помощью данной теоремы и теоремы синусов можно будет полностью решить задачу: «Решить треугольник», т.е. как зная одни из основных элементов треугольника (их 6: 3 угла и 3 стороны), найти другие.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Дано:

Треугольник АВС.

Доказать:

1. ;

2. ;

3. .

Доказательство.

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α (пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С (b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:



Так как
 (основное тригонометрическое тождество), то

Теорема доказана.
Стоит отметить, что для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² - известная всем теорема Пифагора.

Доказательство теоремы через векторы

Оно гораздо короче предыдущего. И если знать свойства векторов, то теорема косинусов для треугольника будет доказана просто.

Если стороны а, в, с обозначить соответственно векторами ВС, АС и АВ, то справедливо равенство: ВС = АС - АВ. Теперь нужно выполнить некоторые действия. Первое из них — это возведение в квадрат обеих частей равенства:ВС2 = АС2 + АВ2 - 2 АС * АВ. Потом равенство нужно переписать в скалярном виде, учитывая то, что произведение векторов равно косинусу угла между ними на их скалярные значения:ВС2 = АС2 + АВ2 - 2 АС * АВ * cos А. Осталось только вернуться к старым обозначениям, и снова получится теорема косинусов:а2 = в2 + с2 - 2 * в * с * cos А

Закрепление материала. Решение задач

Задачи по готовым чертежам. Чертежи проектируются при помощи проектора. При решении задач учащиеся каждый раз проговаривают формулировку теоремы.

Задача 1

Ответ: .

Задача 2

Ответ: 4.

Задача 3

Ответ: 60°.

Проверка усвоенного материала проводится в форме тестирования Проводится тест

1. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:

а) тупого угла
б) прямого угл
в) острого угла

1. В АВС известны длины сторон АВ и ВС. Чтобы найти сторону АС, необходимо знать величину:

а) угла А
б) угла В
в) угла С

1. Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см:

а) остроугольный
б) прямоугольный
в) тупоугольный

1. Если в АВС  А=48°;  В=72°, то наибольшей стороной треугольника является сторона:

а) АВ
б) АС
в) ВС

1. Если квадрат стороны треугольника больше суммы квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:

а) острого угла
б) прямого угла
в) тупого угла

Самопроверка. Ответы:

Итоги урока

Оценка работы учащихся. Дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы.

Домашняя  работа: выучить доказательство теоремы косинусов и решить задачи (выданы каждому – индивидуально)