План-конспект урока по теме "Площадь параллелограмма"

Tема урока: Площадь параллелограмма.

Цель урока: вывести формулу площади параллелограмма, формулу площади

четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями, научиться применять

формулу площади параллелограмма при решении задач

Задачи урока:

• образовательные – вывод формулы площади параллелограмма и четырёхугольника с перпендикулярными сторонами; формирование практических навыков вычисления площадей многоугольников посредством решения задач (квадрат, прямоугольник, параллелограмм);

• развивающие – активизация мыслительной деятельности: постановка проблемного вопроса, выдвижение гипотез, предложений решения задачи, перенос знаний в новую ситуацию, планирование деятельности; : используя формулы развивать образное и абстрактно-логическое мышление, умения производить аналитические операции ( анализ, синтез, вывод ) и применять знания на практике

• воспитательные – развитие  познавательного интереса, культуры математической речи, способности критически, объективно оценивать действия товарищей и свои.

Оборудование: компьютер, проектор, бумажные модели параллелограмма, презентация

Тип урока: комбинированный.

План урока

1. Организационный момент – 2 мин

2. Актуализация знаний – 5мин

3. Практическая работа – 5мин

4. Объяснение нового материала – 8 мин

5. Формирование умений и навыков вычисления площади параллелограмма –

- первичное закрепление - 5мин

- схема решения геометрических задач - 5 мин

- решение задачи на вычисление площади параллелограмма, если - 10 мин

известны стороны параллелограмма и высота, проведённая к одной из

них ( двумя методами) ;

- решение задачи, в которой диагональ параллелограмма является его –7 мин

высотой ;

- решение задач с использованием свойства прямоугольного - 8 мин

треугольника с уг­лом 30°.

- вывод формулы площади четырехугольника с перпендикулярными – 10 мин

диагона­лями.

1. Подведение итогов урока - 2мин

2. Постановка домашнего задания – 3 мин

3. Самостоятельная работа (проверка усвоения нового материала) – 10 мин

Ход урока

1. Организационный момент

Мне приятно, что сегодня светофор показывает зелёный свет. А значит для нас с вами улица полна неожиданностей. И я приглашаю вас….

1. Актуализация знаний

Фронтальная работа

- Какую тему мы с вами начали изучать? (тему Площадь)

- Что такое площадь? (учащиеся проговаривают определение Площади)

- Площадь, какой фигуры мы научились находить? (площадь прямоугольника)

- Чему равна площадь прямоугольника? (формула площади прямоугольника)

Работа по готовым чертежам:

В С В С

30 см

S_ABCD = 24 см²

30۫

А D А D

S_ABCD - ? АВ : А D = 1 : 5

АВ - ?,

А D - ?

- Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 3 раза?

(увеличиться в 9 раз)

III. Практическая работа

- Ребята, перед вами на столах лежит модель знакомого нам четырёхугольника. Как он называется? Что мы называем параллелограммом? Какими свойствами он обладает? (учащиеся дают определение и формулируют свойства)

-Я предлагаю вам выполнить практическое задание: нужно разрезать исходную фигуру на две части (произвести только одно разрезание), чтобы потом из разрезанных частей сконструировать прямоугольник. (учащиеся выполняют практическую работу, один из учеников воспроизводит это на доске)

- Какие измерения нужно произвести, чтобы вычислить площадь получившегося прямоугольника? (измерить смежные стороны)

-Вычислите площадь данного прямоугольника (вычисляют площадь)

- Ребята, а как вы думаете, какие измерения нужно произвести, чтобы вычислить площадь исходного параллелограмма? (Дети отвечают, что никакие измерения не нужны)

- Почему? ( потому, что площади параллелограмма и прямоугольника равны. Так как если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей. Параллелограмм и прямоугольник состоят из одинаковых частей)

- Зная формулу вычисления площади прямоугольника мы смогли вычислить площадь параллелограмма. Как вы думаете, такой способ вычисления площади параллелограмма удобен? (Нет, удобнее вычислять площадь с помощью формулы)

- Да вы правы. Итак, тема нашего урока «Площадь параллелограмма»

- Что нового мы узнаем на уроке? (ответы учащихся)

IV. Объяснение нового материала

Начертить параллелограмм (учитель на доске, учащиеся в тетрадях)

- Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведённый к прямой, содержащей основание - высотой параллелограмма.

- Ребята, а может быть кто-то из вас, учитывая практическую работу, попробует выдвинуть гипотезу о том, как можно найти площадь параллелограмма?

(Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, но одна из них равна основанию параллелограмма, а другая его высоте. Тогда площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию)

- Так ли это? Давайте обратимся к учебнику стр.184 (учащиеся самостоятельно изучают вывод формулы площади прямоугольника)

- Какие дополнительные построения используются при выводе формулы площади параллелограмма? (из вершин В и С опускают перпендикуляры на сторону АД)

- Площадь, какой фигуры будем находить? (трапеции)

- Каким образом? (с одной стороны как сумму площадей параллелограмма и прямоугольного треугольника с другой стороны как сумму прямоугольника и прямоугольного треугольника)

- Кто хочет попробовать на доске вывести формулу площади параллелограмма?

Один аз учеников выводит формулу площади параллелограмма на доске.

Достроим параллелограмм до трапеции, проведя высоту СК из вершины острого угла С.

Трапеция состоит из параллелограмма и прямоугольного треугольника СДК.

Высота, проведённая из другой вершины, разбивает трапецию на другой прямоугольный треугольник ВАН и прямоугольник.

Стороны АВ и ДС этих треугольников равны как противолежащие стороны параллелограмма. Углы ВАН и СДК равны, как соответственные при параллельных прямых АВ и ДС и секущей АД. Прямоугольные треугольники АВН и ДСК равны по гипотенузе острому углу, а значит, имеют равные площади.

Следовательно, площадь параллелограмма АВСД равна площади прямоугольника НВСК.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон ВС и ВН, но одна из них равна основанию параллелограмма, а другая высоте.

Итак, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

V. Формирование умений и навыков вычисления площади параллелограмма

Первичное закрепление (Найдите площадь параллелограмма)

А В М Р

12

6

10

8

О L

А В

7

8

30۫

45۫

12

E P

Сегодня на уроке нам очень важно научиться решать задачи с использованием изученной формулы. А чтобы каждый из вас смог это сделать воспользуемся следующей схемой решения геометрических задач.

Слайд 1

Сначала мы отвечаем на вопросы:

Какая фигура?

Что известно?

Что надо найти? Какая формула?

затем мы выбираем метод решения, поэтому отвечаем на вопрос:

Какой метод?

Геометрический метод используется тогда, когда в формуле, которую мы хотим применить, уже известны какие-то данные, а другие можно вычислить, важно только выделить фигуры, из которых это можно сделать.

Алгебраический метод используем тогда, когда сразу из формулы не можем найти

неизвестную величину, в этом случае вводим переменную.

Слайд 2

Решение задачи на вычисление площади параллелограмма, если известны стороны

параллелограмма и высота, проведённая к одной из них ( двумя методами) ;

- Сформулируйте задачу по чертежу

Ученикам демонстрируется чертёж, по которому предлагается составить текст задачи

Слайд 3

(Пусть а и в смежные стороны параллелограмма, h₁ и h₂ его высоты.

Найдите h₂ если а = 18см, в = 30 см, h₁ = 6см, , h₁ h_2.)

Кто желает решить эту задачу геометрическим методом, пользуясь схемой?

К доске вызывается ученик, который пользуясь рассмотренной схемой, отвечает на

вопросы

( В задаче речь идёт о параллелограмме, известны стороны параллелограмма и высота, проведённая к одной из них. Требуется найти вторую высоту параллелограмма. Формула, которая связывает основание параллелограмма с его высотой – это формула площади параллелограмма.

Попробуем решить задачу геометрическим методом. В этой формуле известно основание а=18см и h₁ = 6см. Можно найти площадь параллелограмма

S = а h₁= 18 ^.6 = 180 (см²)

S = в h₂=180 (см²), h₂ = S : в = 180 : 18 = 10 (см)

Ответ: 10 см.)

Можно ли решить задачу алгебраическим методом? (Ученик, желающий показать этот метод, вызывается к доске)

(Решение:

Основание параллелограмма и его высоту связывает площадь параллелограмма.

Обозначим неизвестную высоту за х и выразим площадь параллелограмма через одно основание и высоту, проведённую к ней и через другую.

Слайд 4

18х = 30 ^. 6

18х = 180

х = 10

Ответ: 10 см.)

Подведём итоги. Что в связи с решением этой задачи полезно запомнить на будующее? (Выслушиваются варианты) Итак:

• Решать задачи помогает схема рассуждений

• задачи можно решать двумя способами: геометрическим и алгебраическим

• в задачах, где речь идёт о высоте, может помочь площадь фигуры, даже если о ней в условии задачи не говориться

Слайд5

Решение задачи, в которой диагональ параллелограмма является его высотой

- Сформулируйте задачу по чертежу

Ученикам предлагается сформулировать условие задачи по чертежу:

(В параллелограмме АВСD угол В = 135 градусов, диагональ ВD перпендикулярна стороне АD. Площадь параллелограмма равна 49 см². Найдите АD)

Слайд 6

Учитель предлагает подумать, что можно найти по данным задачи?

Рассуждения учеников могут быть такими:

зная один угол параллелограмма, можно найти все остальные углы, таким образом ,

угол A = 45°, тогда в треугольнике АВД можно найти угол АВД, он равен 45°, поэтому треугольник АВД - равнобедренный.

Эти рассуждения отражаются на чертеже:

Слайд 7

- Итак, мы обозначили все, что дано, все, что можно найти

- Можно ли теперь отве­тить на вопрос задачи? (пауза)

- Получается, что геометрическим способом решить за­дачу не получается. Что надо делать в этом случае? (Попробовать алгебраический метод).

- С чего начнем? (Выберем условие для составления уравнения).

- Какое? (Площадь па­раллелограмма равна 49 см2)

- Что дальше? (Обозначим АД за х).

- Что дальше? (Тогда ВД также равна х).

- Как связаны эти данные с площадью параллелограмма? (АД можно выбрать за основание параллелограмма, тогда ВД будет его высотой, а, значит, их про­изведение равно 49 см2, поэтому сторона АД равна 7)

К доске для оформления всего решения вызывается ученик, а остальные оформляют решение в тетрадях самостоятельно, а затем сверяются полученные вари­анты.

Оформить можно так:

1. А=180° - 135° =45° (свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне)

АДВ=90° ( по условию)

АВД=45° , значит треугольник АВД- равнобедренный

2. Пусть АД= х см, тогда ВД=х см

S=АД ВД

х х= 49.

х2= 49.

х=7.

Ответ: 7 см.

Слайд 8

Подведем итоги.

Что в связи с решением этой задачи хорошо бы запомнить на бу­дущее? (Выслушиваются

варианты).

Итак:

• приступать к решению удобно, задавая себе вопрос: «Что можно найти, зная...?» и отталкиваясь от условия;

• есть задачи, решение которых начинается геометрическим методом, потом под­ключается алгебраический;

• если в параллелограмме диагональ перпендикулярна стороне, и один из углов параллелограмма равен 45° (135°), то диагональ является высотой параллело­грамма и отсекает от него равнобедренный треугольник.

Слайд 9

Решение задач с использованием свойства прямоугольного треугольника с углом 30°.

В предыдущей задаче нам помог угол в 45°, другой угол-помощник - угол в 30°.

- Почему? (вспоминается свойство прямоугольного треугольника с углом 30°).

За­тем предлагается задача:

Один из углов параллелограмма равен 30° одна из сторон равна 10 см. периметр параллелограмма равен 56 см. Найти площадь параллелограмма.

- С чего начать после прочтения текста задачи? (Надо построить параллелограмм и нанести данные на чертеж). Ученики строят параллелограмм, но отметить сразу, какая сторона равна 10 см не могут и приходят к выводу, что сначала надо найти длину дру­гой стороны параллелограмма. Устный счет дает ответ: 18 см, значит, 10 см -длина меньшей стороны, а 18 - длина большей стороны:

- Что требуется найти в задаче? (Площадь параллелограмма).

- Что нужно знать, чтобы найти площадь параллелограмма? (Длину его высоты).

- Мы знаем, что за основа­ние параллелограмма можно выбрать любую его сторону и к ней провести высоту.

Вы­зываются два ученика, одному предлагается выбрать за основание сторону ВС, а дру­гому - сторону СД. Остальные на местах работают со своим вариантом

Слайд 10

Решение:

1.Р= 56см, АВ=10 см, ВС=18см

2. МСД - прямоугольный, уголС=30° ДМ= 5см.

3 . S=ВС ДМ, S=18 5= 90 (см²)

Ответ: 90 си²

Решение:

1.Р= 56см, АВ=10 см, ВС=18см

2. ВСК- прямоугольный, угол С=30° ВК=9см

3. S=СД ВК, S= 10 9 =90 ( см²)

Ответ: 90 си²

Подведем итоги.

Что в связи с решением этой задачи хорошо бы запомнить на бу­дущее? (Выслушиваются варианты).

Итак:

• перед тем, как нанести данные на чертеж, подумать о соответствии данных ри­сунку (большая длина - большая сторона);

• одни и те же данные можно отмечать на рисунке несколько раз (10 см, 30°), тогда будет виднее ход поиска решения

Слайд 11

Вывод формулы четырёхугольника с перпендикулярными сторонами

Мотивом обращения к этой части урока, может служить обсуждение вопроса, можно ли найти площадь произвольного четырехугольника, с перпендикулярными диагоналями?

Оформляется чертеж и краткая запись условия задачи:

Дано :АВСД- четырёхугольник

d_{1 и} d₂ -диагонгали

d₁ d₂

- Вспоминаем, как поступали, когда нужно было найти плошаль, а формулы для этого не было

- В таком случае:

достраивали фигуру до известной;

находили площадь получившейся фигуры по частям и по формуле;

сравнивали результаты;

делали выводы. Получается решение :

1.Sпрямоугольника=2S1+2S2+2S3+2S4=2(S1+S2+S3+S4)=2SАВСД

2.Sпрямоугольника = d1 d2

3. 2SАВСД = d1 d2

4. SАВСД = d1 d2

Подведем итоги:

- Что в связи с решением этой задачи хорошо бы запомнить на бу­дущее? (Выслушиваются варианты)

Итак:

• надо запомнить формулу;

• а еще лучше помнить этапы доказательства, потому что они повторяются при выводе многих формул, связанных с площадью.

- А есть ли такой четырёхугольник среди параллелограммов? (да, это ромб)

-Так как ромб является параллелограммом, то площадь ромба равна …..произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
- Так как ромб является четырёхугольником диагонали которого перпендикулярны, то площадь ромба……равна половине произведения диагоналей

Беседа о практическом применении полученных знаний в жизни.

Сегодня на уроке мы с вами решали разные задачи: проводили измерения, находили площадь, перекраивали фигуры. А для чего мы этим занимаемся, нам когда-нибудь эти знания в жизни пригодятся? Если пригодятся, то где?

(учащиеся отвечают, что полученные знания имеют большое практическое применение, например, в строительстве: чтобы покрасить пол, постелить на него ленолиум или другое покрытие, надо измерить площадь пола и рассчитать количество покрытия на эту площадь; чтобы оклеить комнату обоями, надо рассчитать площадь стен и количество рулонов и т.д. можно привести много примеров)

А вы знаете, что при проектировании и строительстве домов, размер окон имеет большое значение. Освещённость комнаты считается нормальной, если площадь (световая площадь) окон составляет 20% от площади пола.

Пока вы решали задачи по готовым чертежам, двум вашим товарищам было поручено рассчитать освещённость одной комнаты. Давайте их послушаем.» Текст задачи проецируется на экран, кто-то из экспертов выходит к доске и рассказывает решение задачи.

VI. Подведение итогов.

Ребята, давайте подведём итог сегодняшнего урока. Достигли ли мы поставленной на уроке цели? Какие задания для этого выполняли? Какие из них вам показались труднее, а какие легче? Какие задачи было интересно выполнять? Далее подводятся итоги работы каждой группы и выставляются оценки.

VII, Постановка домашнего задания.

Произведите необходимые измерения и вычислите световую площадь своей комнаты. Вычислите отношение световой площади к площади пола и выразите его в процентах.

Дома решите задачу: № 11

- В чем особенность параллелограмма, данного в задаче № 11?

(В нем угол равен 30°, значит, можно будет воспользоваться свойством прямоугольного треугольника с углом 30°).

-Не ка­жется ли вам эта задача легкой? Ее можно заменить на любую понравившуюся задачу № 12 или № 14

VIII. Самостоятельная работа (приложение 1)

Рис.2

B

1=2

BM=5

MC=4

S_ABCD=?

A D