План урока. Интеграл. Площадь криволинейной трапеции

Тема: Площадь криволинейной трапеции (2ч)

Цель занятия:

1. ввести понятие криволинейной трапеции,

2. сформулировать теорему о нахождении площади криволинейной трапеции,

3. познакомить с понятием интеграла.

4. формировать умения делать выводы.

5. формировать интерес к изучению математики.

6. развивать творческую активность студентов.

Ход занятия

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

1. Выполнение упражнений

2. Итоги занятия

3. Домашнее задание

По учебнику «Алгебра и начала анализа» 10-11клас. А.Н. Колмогоров стр. 179-183

Тема: Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница (4ч)

Цель занятия:

1. Ознакомить с понятием интеграла и формулой Ньютона-Лейбница;

2. Закрепить понятие интеграла и знание формулы Ньютона-Лейбница;

3. Научить применять формулу и понятие интеграла для решения примеров;

4. Научить вычислять определенный интеграл;

5. Формировать умение и навык нахождения интеграла функции;

Ход занятия

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:  .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента   интеграл вида   является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию  , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство  .

Действительно, запишем приращение функции  , соответствующее приращению аргумента   и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

где  .

Перепишем это равенство в виде  . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при  , то получим  . То есть,   - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как  , где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла:  , следовательно,  . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b):  , то есть  . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница  .

Приращение функции принято обозначать как  . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид  .

1. Выполнение упражнений

2. Итоги занятия

3. Домашнее задание

По учебнику «Алгебра и начала анализа» 10-11клас. А.Н. Колмогоров стр. 183-188

Тема: Применение интеграла (2ч)

Цель занятия:

1. расширение представлений у студентов о применении интеграла в

2. различных областях современной жизни

3. обобщение знаний по теме «Применение интеграла»;

4. Развитие коммуникационных компетенций при решении проблем творческого и поискового характера

5. развитие интеллектуальных способностей студентов;

Ход занятия

Пусть дано тело объемом V, причем имеется такая прямая, что для любой плоскости (рис. 125 стр. 194), перпендикулярной данной прямой, известна площадь сечения S тела этой плоскостью. Но плоскость перпендикулярная оси ОХ, пересекает ее в некоторой точке x. Следовательно, каждому числу x   поставлено в соответствии единственное число   - площадь сечения тела этой плоскостью. Имеется функция  , заданная на отрезке  .

Если функция непрерывна на отрезке  , то справедлива формула  .

Тело, полученное вращением криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке   функцией, отрезками прямых   и отрезком   оси ОХ, имеем объем, выражающийся по формуле:

.

Действительно, каждая плоскость, перпендикулярная оси ОХ и пересекающая отрезок   этой оси в точке x, дает в сечении круг радиуса f(x). Соответственно, площадь сечения равна площади круга радиуса f(x):  .

На рисунке показан объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции.

1. Выполнение упражнений

2. Итоги занятия

3. Домашнее задание

По учебнику «Алгебра и начала анализа» 10-11клас. А.Н. Колмогоров стр. 188-193