Подборка задач № 4 на ЕГЭ-2017 по математике.

Теория вероятности.

Случайное событие –  любое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта.

Пример: При бросании монеты может выпасть «орел» или «решка». Это два возможных варианта события или исхода испытания.

Рассмотрим следующую ситуацию.

Мы бросаем игральный кубик. Допустим, мы заинтересованы в выпадении четного числа очков на кубике. Как часто такое будет случаться?

Всего на кубике 6 граней. В результате броска выпадет либо 1, либо 2, 3, 4, 5, 6. То есть произойдет одно событие из шести равновозможных.

Все шесть событий или исходов испытания (выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6) можно подразделить на две группы: благоприятные для нас (выпадение 2, 4, 6) и неблагоприятные (выпадение 1, 3, 5).

Так вот  вероятность события  p равна отношению числа благоприятных исходов k к числу всевозможных исходов n, то есть Р=К/N

В нашем случае вероятность выпадения четного числа очков при броске игрального кубика равна 3/6=0,5

По сути это означает, что если мы делаем  (пусть 30) бросков, то мы, конечно не можем утверждать, что  в этом случае выпадет четное число очков ровно  (или 15) раз, но число выпадения четного числа очков будет близко к  (или 15), то есть условно можно сказать, что половина бросков будет отвечать нашему интересу.

Как вы уже понимаете, вероятность события не может быть больше 1.

Если вероятность события равна нулю, значит оно не случится.

Если вероятность события равна 1, то событие обязательно произойдет.

Например, вероятность вытащить из мешка с черными шарами белый шар равна нулю, а вероятность вытащить черный шар равна 1.

Событие  А  называется противоположным событию В  , если не произошло событие  В.

Например, при стрельбе по мишени событие «промах» – противоположно событию «попадание».

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, то есть

Р(А)+Р(В)=1

Задача 1. На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос. 

Решение: 

Из 40 вопросов (число всевозможных исходов) Коля выучил 40-4=36 вопросов (число благоприятных исходов).

Тогда вероятность того, что Коле попадется выученный вопрос – это 36/40=0,9.

Ответ: 0,9.

Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решение: 

Вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси равна

7/35=0,2

Задача 3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: 

В сумме выпадет 7 очков в следующих вариантах:

5+1+1 (3 комбинации)

1+2+4 (6 комбинаций)

1+3+3 (3 комбинации)

2+2+3 (3 комбинации)

Всего 3+6+3+3=15 вариантов.

Каждый из трех кубиков может выпасть шестью гранями, поэтому общее число исходов равно 6*6*6=216.

Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков, равна 15/216=0,069

Ответ: 0,07. 

Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Решение: 

Благоприятный исход: орел-орел-орел-орел.

Всего исходов – 2*2*2*2=16(монету бросают четырежды)

Значит, вероятность того, что решка не выпадет ни разу – есть 1/16

Ответ: 0,0625. 

Задача 5. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 75 докладов — в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: 

Всего запланировано 75 докладов, и так как в первый день запланировано 27, то на оставшиеся два дня остается 75-27=48 докладов, при этом во второй и третий дни будет прочитано по 48:2=24 доклада.

Значит вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на третий день есть 24/75=0,32

Ответ: 0,32. 

Задача 6. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?

Решение: 

В первом туре Василий Лукин может сыграть с 26 − 1 = 25 шашистом, из которых 3 − 1 = 2 из России.

Значит, вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России, есть 2/25=0,08

Ответ: 0,08. 

Задача 7. В чемпионате мира учавствуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе?

Решение: 

Количество карточек с номером «1» – 4 штуки. Всего карточек  (команд) – 20.

Значит, вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе равна 4:20=0,2

Ответ: 0,2. 

Задача 8. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?

Решение: 

На клавиатуре телефона  цифр меньше  4-х – 4 штуки (0; 1; 2; 3). Всего цифр 10.

Значит,  вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4 равна 4:10=0,4

 Ответ: 0,4.

Задача 9. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?

Решение: 

От 41 до 56 ровно 56-40=16 чисел. Среди них четных 8 штук (42; 44; 46; 48; 50; 52; 54; 56).

Значит, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2 равна 8:16=0,5

Ответ: 0,5. 

Задача 10. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?

Решение: 

Сумма очков равна 10 в следующих трех случаях:

4+6; 6+4; 5+5.

Ответ: 3. 

Задача 11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Решение:

Пусть один из друзей  находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг  окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.

Ответ: 0,3. 

Задача 12. Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: 

Частота события «гарантийный ремонт» составляет 102:1000=0,102

Вероятность же, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096.

Разница между частотой события и вероятностью составляет 0,102-0,096=0,006

Ответ: 0,006. 

Задача 13. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

Решение:

На циферблате между 6 часами и 9  располагаются три часовых деления.

Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:3:12=0.25

Ответ: 0,25. 

Задача 14. За круг­лый стол на 5 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 3 маль­чи­ка и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

Решение: 

«Фиксируем» одну из девочек на одном из стульев. Благоприятной ситуацией для нас будет посадка второй девочки на один из двух стульев, стоящих рядом со стулом, занятым первой девочкой. Всего свободных стульев для второй девочки – 4.

Итак, ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом есть 2:4=0,5, то есть 

Ответ: 0,5 

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Итак, теория.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая  игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем.   Когда выпадает три, реализуются оба события.

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий  есть сумма  вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет 1|6, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:  1/6+1/6=1/3

Вероятность же  суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня  в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате»  по условию равна 0,3. События являются совместными. 

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть 0,3+0,3-0,12=0,48

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например,  при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5,  – независимые события.

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если  происходят два независимых события А и В с  вероятностями  соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – 1\6. Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: 1/6*1\6=1\36

.

Задача 1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:-

События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – несовместные. Значит,  вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий: 0,35+0,2=0,55.

Ответ: 0,55.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение

Ситуация 1:

Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события 0,7) и (умножение) оно бракованное (вероятность события 0,01).

То есть должны произойти оба события. На языке теории вероятностей это означает произведение вероятностей каждого из событий: 0,7*0,01=0,007

Ситуация 2:

Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события 0,3) и оно бракованное (вероятность события 0,03):0,3*0,03=0,009

Посколько при покупке стекла мы оказываемся в ситуации 1 или (сумма) в ситуации 2, то по формуле суммы вероятностей  несовместных событий  получаем:0,007+0,009=0,016

Ответ: 0,016.

Задача 3. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение

Вероятность события А: «кофе закончится в первом автомате» P(A) равна 0,3.

Вероятность события В: «кофе закончится во втором автомате» P(B) равна 0,3.

Вероятность события АB: «кофе закончится в обоих автоматах» P(АB) равна 0,16.

Вероятность суммы двух совместных событий А+В, есть сумма их вероятностей  без вероятности события АB:

0,3+0,3-0,16=0,44

Нас же интересует вероятность события, противоположного событию А+В. Действительно, всего возможны 4 события, три из них, помеченные желтым цветом, отвечают событию А+В:

Р=1-0,44=0,56

Ответ: 0,56.

Задача 4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Оба автомата неисправны с вероятностью 0,12*0,12=0,0144

Хотя бы один автомат исправен (исправен+неисправен, неисправен+исправен, исправен+исправен)– это событие, противоположное событию «оба автомата неисправны», поэтому его вероятность есть 1-0,0144=0,9856

Ответ: 0,9856.

Задача 5. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: 

Биатлонист попадает в мишень первый раз и (умножение) второй,  и третий: 0,85*0.85*0,85=0,614125

Так как вероятность попадания в цель – 0,85, то вероятность противоположного события, промаха, – 1-0,85=0,15

Биатлонист промахнулся при четвертом выстреле и при пятом:0,15*0,15=0,0225

Тогда вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишень, а (и!) последние два промахнулся такова:0,614125*0,0225=0,0138…округляем 0,01

Ответ: 0,01.

Задача 6. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна 0,92. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение-

Рассмотрим следующие события:

А – «пылесос прослужит больше года, но меньше 2»,

В – «пылесос прослужит больше 2-х лет»,

С – «пылесос прослужит больше года».

Событие С есть сумма совместных событий А и В, то есть

Р(С)= Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Но Р(АВ)=0, так как не может одновременно произойти и А, и В.

Поэтому 0,92=Р(А)+0,84

Откуда Р(А)=0.92-0,84

Ответ: 0,08.

Задача 7. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,07. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение: 

Вероятность перегорания всех трех лампочек в течении года 0,07*0,07*0,07=0,000343

Тогда вероятность противоположного события – хотя бы одна лампа не перегорит – есть 1-0,000343=0,999657.

Ответ: 0,999657.

Задача 8. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

I способ

Пусть вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы,   – из I хозяйства – р. Тогда вероятность того, что яйцo, купленное у агрофирмы,   – из II хозяйства – 1-р.

Высшую категорию получает яйцо, если оно

1) из I хозяйства и I категории

или

2) из II хозяйства и I категории,

то есть

0,4р+0,9(1-р)=0,6

Ответ: 0,6.

Задача 9. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение: 

Джон хватает пристрелянный револьвер (вероятность этого 4\10=0,4) и промахивается (вероятность 1-0,9=0,1). Вероятность этого события 0,4*0,1=0,04

Джон хватает непристрелянный револьвер (вероятность этого 6\10=0,6) и промахивается (вероятность 1-0,3=0,7). Вероятость этого события 0,6*0,7=0,42

Джон может схватить пристрелянный револьвер и промахнуться или схватить непристрелянный револьвер и промахнуться, поэтому искомая вероятность есть:

0,04+0,42

Ответ: 0,46.

Задача 10. Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше 12 задач, равна 0,78. Вероятность того, что У. верно решит больше 11 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 12 задач.

Решение: -

Пусть событие А: «учащийся верно решит 12 задач»,

событие В: «учащийся решит больше 12 задач»,

событие С: «учащийся решит больше 11 задач».

При этом вероятность события С есть сумма вероятностей событий А и В:

Р(С)=Р(А)+Р(В)

0,88=Р(А)+0,78

0,88-0,78=0,1 – это и есть искомая вероятность.

Ответ: 0,1.

Задача 11. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение: -

Возможны следующие события (при условии, что 3 августа хорошая погода):

А) ХХХХ

В) ХОХХ

С) ХХОХ

D) ХХХО

E) ХООХ

F) ХХОО

J) ХООО

H) ХОХО

(Мы отметили за «X» – «хорошая погода», «O» – «отличная погода»)

Интересующие нас события (6 августа – отличная погода): D, F, J, H.

Событие D: XХXO произойдет с вероятностью 0,8*0,8*0,2=0,128

Событие F: ХХОО произойдет с вероятностью 0,8*0.2*0,8=0,128

Событие J: ХOОО произойдет с вероятностью 0,2*0,8*0,8=0,128

Событие H: ХОXО произойдет с вероятностью 0,2*0,2*0,2=0,008

Тогда вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода есть 

Ответ: 0,392.

Задача 12. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение: 

На своем пути паук встречает четыре развилки. И на каждой развилке паук может выбрать путь, ведущий к выходу D, с вероятностью 0,5 (ведь на каждой развилке возможны два независимых  равновозможных события: «выбор верного пути» и «выбор неверного пути»). Паук дойдет до выхода D, если выберет «верный путь» на первой развилке и на второй, и на третьей, и на четвертой, то есть к выходу D паук придет с вероятностью, равной 
Ответ: 0,0625.

Задача 13. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение: -

Пусть р – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.

Тогда 1-р – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.

Анализ дает положительный результат в случаях

пациент болен и (умножение) анализ положителен

или (сложение)

пациент не болен и анализ ложно положителен

Так как по условию задачи  у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат,  то р*0.9+(1-р)*0,01=0,06

Р=0,05617…

Округляем до тысячных: .

Ответ: 0,056.

Задача 14. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Решение: 

Переформулируем вопрос задачи:

Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 0,02?

При одном  выстреле вероятность промаха  – 0,6.

При двух выстрелах вероятность промаха – 0,6*0,4=0,24 (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха – 0,6*0,4*0,4=0,096

При четырех выстрелах вероятность промаха – 0,6*0,4*0,4*0,4=0,0384

При пяти выстрелах вероятность промаха –,6*0,4*0,4*0,4*0,4=0,01536

Замечаем, что0,01536,02 .

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98.

Ответ: 5.