"Подготовка к ЕГЭ-2017. Теория вероятностей"

Подготовка к ЕГЭ – 2017 Теория вероятностей

Подготовила:

Галиева Зульфия Наиловна,

учитель математики МОБУ гимназия №1

«Теория вероятностей есть в сущности ни что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению»

Пьер Симон Лаплас, 1814

математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений

Случайным событием ( возможным событием или просто событием ) называется любой факт, который может в результате испытания произойти или не произойти.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Примеры событий :

• Появление герба при подбрасывании монеты.
• Выигрыш автомобиля по билету денежно-вещевой лотереи.
• Выход бракованного изделия с конвейера предприятия и т.д.

Событие – это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход, результат испытания.

События обозначаются: A, B, C ,…

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого события. В противном случае события называются совместными.

Событие называется достоверным (обозначается Ω ), если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным (обозначается ), если в результате испытания оно вообще не может произойти.

События называются равновозможными , если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным.

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них

Несколько событий образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события.

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами или случаями .

Случай называется благоприятствующим событию A , если появление этого случая влечет за собой появление события A .

Классическое определение вероятности случайного события:

Вероятность события   равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, к общему числу  случаев, т. е. P(A) = m/n ,

где P(A) – вероятность события A ;

m – число случаев, благоприятствующих событию А;

n – общее число случаев.

Свойства вероятности события:

• вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.
• вероятность достоверного события равна 1:
• вероятность невозможного события равна 0:

Задание 1

В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 27 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение:

A : «выбранный для контроля насос не подтекает»

m = 900 – 27 = 873

P(A)=m/n= 873 / 900 =0 ,97

Чтобы визуализировать вопрос и ответ на задачу, необходимо щёлкнуть мышкой по пустому месту слайда; для визуализации подсказки нажмите на кнопку столько раз, сколько указано в скобках.

Ответ: 0 ,97

Задание 2

В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Решение:

A : «спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады»

n= 70

m= 70 - ( 25 + 17 )= 28

P(A)= 28 / 70 =0 , 4

Чтобы визуализировать вопрос и ответ на задачу, необходимо щёлкнуть мышкой по пустому месту слайда; для визуализации подсказки нажмите на кнопку столько раз, сколько указано в скобках.

Ответ: 0 , 4

Задание 3

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Результат округлите до тысячных.

Решение:

1

1

2

2

(1,1)

3

(2,1)

(1,2)

3

4

(2,2)

(3,1)

4

(1,3)

5

(2,3)

(4,1)

(3,2)

5

(1,4)

6

(5,1)

(3,3)

(4,2)

(2,4)

(1,5)

6

(6,1)

(2,5)

(4,3)

(1,6)

(5,2)

(3,4)

(2,6)

(3,5)

(6,2)

(4,4)

(5,3)

(6,3)

(4,5)

(5,4)

(3,6)

(6,4)

(5,5)

(4,6)

(6,5)

(5,6)

(6,6)

Чтобы визуализировать вопрос и ответ на задачу, необходимо щёлкнуть мышкой по пустому месту слайда; для визуализации подсказки нажмите на кнопку столько раз, сколько указано в скобках.

1)Рассмотрим таблицу исходов при бросании двух костей. Всего исходов 36. ( n =36)

2) Выделим среди исходов те, в которых сумма очков равна 7. Благоприятствующих исходов ровно 6. ( m= 6 )

3)Подставим эти значения в формулу, получим: P(A)= 6 /36≈0 ,167

Ответ:

0,167

Задание 4

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Решение:

Так как монета симметрична, то выпадение орла (О) и решки (Р) равновозможно.

1)Рассмотрим все возможные исходы этого опыта:

ОР, РО, ОО, РР.

Всего 4 исхода, т.е. n =4 .

2)Среди них событию «орёл не выпал ни разу» соответствует один исход: РР, т.е. m =1 .

3)Подставим эти значения в формулу, получим:

P(A)= 1 /4=0 ,2 5

5

Чтобы визуализировать вопрос и ответ на задачу, необходимо щёлкнуть мышкой по пустому месту слайда; для визуализации подсказки нажмите на кнопку столько раз, сколько указано в скобках.

Ответ: 0 ,25

Задание 5

В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза?

Решение:

1 бросок

2 бросок

О

О

3 бросок

О

О

О

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Р

Р

О

О

О

Р

Р

Р

Р

Р

О

Р

Множество элементарных исходов: n=8

A= { орел выпал ровно 2 }; m=3

P(A) = m/n=3/8 = 0 , 375

8 исходов

В

Ответ: 0,375

Схема решения задач:

• Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны.
• Найти общее число элементарных событий ( n ).
• Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А и найти их число ( m ).
• Найти вероятность события А по формуле:

Р(А)= m / n

Теоремы сложения вероятностей

1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Задание 6

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

А ={ вопрос на тему «Вписанная окружность» }

B={ вопрос на тему «Внешние углы» }

События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно

С ={ вопрос по одной из этих тем }

Р(С)=Р(А) + Р(В)

Р(С)=0,2 + 0,35=0,55

В

Ответ: 0 ,55

Задание 7

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся П. верно решит больше 12 задач, равна 0,7. Вероятность того, что П. верно решит больше 11 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 12 задач.

Решение:

А ={ учащийся решит 12 задач }

B={ учащийся решит 12 больше задач }

С ={ учащийся решит 11 больше задач }

С=А+В

P(С) = P(А) + P(В)

0,79 = P(А) + 0,7

Р(А) = 0,79 - 0,7 = 0,09

Ответ: 0,09

2. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Задание 8

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

А = { кофе закончится в первом автомате }

В = { кофе закончится во втором автомате }

A·B = { кофе закончится в обоих автоматах }

A+B = { кофе закончится хотя бы в одном автомате }

По условию, Р(А) = Р(В) = 0,3; Р(АВ) = 0,12.

Р(А+В) = 0 ,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.

Ответ: 0,48

Теорема умножения вероятностей независимых событий :

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: 

Р(АВ)= Р(А) ∙ Р(В)

События являются  независимыми , если вероятность наступления любого из них 

не зависит  от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Задание 9

Решение:

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга.

P(A) = P( A 1 ) ∙ P( A 2 ) = 0,5 ∙ 0,3 = 0 , 15

Чтобы визуализировать вопрос и ответ на задачу, необходимо щёлкнуть мышкой по пустому месту слайда; для визуализации подсказки нажмите на кнопку столько раз, сколько указано в скобках.

Ответ: 0,15

Задание 10

В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Результат округлите до тысячных.

Решение:

Пусть А – «появление белого шара из первой урны»;

В – «появление белого шара из второй урны». Очевидно, что события А и В независимы.

Найдем Р(А) = 4/12 = 1/3; Р(В) = 3/12 = 1/4.

По теореме умножения вероятностей независимых событий получаем

Р(АВ) = Р(А) × Р(В) =1/3 × 1/4= 1/12 ≈ 0, 083.

Ответ: 0,083

Задание 11

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение:

A i = { i - ая батарейка исправная } , i =1,2

А = {обе батарейки исправны}

Противоположное событие:

В

Ответ:0, 8836

Задание 12

В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

А= { хотя бы один автомат исправен }

По формуле умножения вероятностей:

В

Ответ: 0,9975

Задание 13

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Вероятность попадания равна 0,8

Вероятность промаха равна 1 - 0,8 = 0,2

А= { попал, попал, попал , промахнулся, промахнулся }

По формуле умножения вероятностей

Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2

Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02

В

Ответ: 0 , 02

Задание 1 4

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень .

Решение:

Вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.

Рассмотрим события:   A 1 – «1-й стрелок попадёт в мишень»;   A 2 – «2-й стрелок попадёт в мишень».

По условию: P ( A 1 )= 0,8; P ( A 2 )=0,6

Найдём вероятности противоположных событий  1, 2  – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

P ( 1 ) = 1- P ( A 1 ) = 1-0,8 = 0,2;

P( 2 ) = 1- P(A 2 ) = 1- 0 ,6 = 0,4

В

Рассмотрим событие: B   – «только один стрелок попадёт в мишень». Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся   или  1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:  Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:

=0,8∙0,4+0,2 ∙ 0,6=0,32+0,12=0,44 – вероятность того, что будет только одно попадание.

Ответ:0,44

Теорема умножения вероятностей зависимых событий :

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности появления одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло. 

Р(АВ)= Р(А) ∙ Р(В \ А)

Р(АВ)= Р(В) ∙ Р(А \ В)

Если А= А∙В 1 +А∙В 2

P( В 1 )+ P( В 2 )=1

Р(А)= Р(В 1 ) ∙ Р(А \ В 1 ) + Р(В 2 ) ∙ Р(А \ В 2 )

Задание 15

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Рассмотрим события: А – «попал в муху»;  В 1 – «выбрал пристрелянный пистолет»;  В 2 – «выбрал непристрелянный пистолет».

Р(А \B 1 )= 0,9; Р(А \B 2 )= 0,2; P ( B 1 )= 4/10=0,4; P ( B 2 )=1-0,4 = 0,6 .

Р(А)= Р(В 1 ) ∙ Р(А \ В 1 ) + Р(В 2 ) ∙ Р(А \ В 2 ) =

= 0 ,4 ∙ 0,9 + 0,6 ∙ 0,2 = 0,36+0,12 = 0,48

Вероятность, что промахнется 1- 0,48 =0,52

В

Ответ:0,52