Подготовка к ЕГЭ №18 Линейные уравнения с параметрами

Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами

Линейным уравнением называется уравнение вида 𝑎𝑥 = 𝑏, где 𝑎, 𝑏 - некоторые действительные числа, x – переменная. В зависимости от коэффициента а, зависит и решение этого уравнения

Если а=0, возникает два вопроса значениях b:

Если а=0, b=0, то уравнение принимает вид 0х=b, значит уравнение имеет бесконечно много решений, решением является любое действительно число.

Если а=0, 𝑏 ≠ 0, то уравнение принимает вид 0х=b, значит уравнение не имеет корней, т.к. нет такого числа, которое при умножении на нуль даст результат, отличный от нуля.

При а≠0 мы можем обе части уравнения разделить на а, имеем единственный корень, равный 𝑥 = 𝑏/а

Ответ: при 𝑎 ≠ 0 единственное решение 𝑥 = 𝑏/ 𝑎 ;

при а=0, b=0 х – любое число;

при а=0, 𝑏 ≠ 0 нет решений;

при 𝑎 ≠ 0 единственное решение 𝑥 = 𝑏 /𝑎 .

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром аналитическим способом:

1. Привести уравнение к виду ax = b

2. Найти контрольные значения параметра а.

3. Подставить контрольные значения в уравнение ax = b и выяснить, сколько решений имеет уравнение.

4. Записать, при каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение.

5. Нанести все решения на ось параметров.

6. Записать правильно ответ .

Задача №1. Для каждого значения параметра а решить уравнение 𝑥 − a = 𝑥 + 1

1) Приведем уравнение к виду 𝑎𝑥 = 𝑏, для этого члены, содержащие х, перенесем в левую часть уравнения.

𝑥 − 𝑥 = 𝑎 + 1

(− 1)𝑥 = 𝑎 + 1 (𝑎 − 1)(𝑎 + 1)𝑥 = 𝑎 + 1

2) Найдем контрольные значения параметра, при которых коэффициент при x обращается в нуль

(𝑎 − 1)(𝑎 + 1) = 0 𝑎 = 1 или 𝑎 = −1

3) Если 𝑎 = 1, то уравнение принимает вид 0 ∙ 𝑥 = 2, т.е. при 𝑎 = 1 уравнение не имеет решений.

4) Если 𝑎 = −1, то уравнение принимает вид 0 ∙ 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ Z

5) Если 𝑎 ≠ 1; 𝑎 ≠ −1, то уравнение имеет единственное решение: 𝑥 = ; х= ;

Ответ: при 𝑎 = −1, x – любое; при 𝑎 = 1, решений нет; при 𝑎 ≠ 1; 𝑎 ≠ −1, один корень х= 1/(а−1)

Задача №3. При всех значениях a решите уравнение = 3(𝑥 + 1) +

Решение. Обращаем внимание на то, что параметр находится в знаменателе. А знаменатель дроби не должен быть равен нулю (т.е. параметр имеет область допустимых значений). Контрольными значения параметра, при котором знаменатель дроби равен 0.

О.Д. З 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0 )

1)При a=0 уравнение не имеет корней..

2)При 𝑎 ≠ 0 = 3(𝑥 + 1) +

Умножим обе части уравнения на 𝑎 ≠ 0, получим линейное уравнение с параметром.

2(a+1)x=3a(x+1)+7

2ax+2x-3ax-3a=7 2x-ax=7+3a (2-a)x=7+3a

Получим уравнение вида ax=b

контрольные значения параметра: 2-a=0 a=2 Если a=2, то 0∙x=13 уравнение не имеет корней. Если 𝑎 ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение 𝑥 = (7+3𝑎) /(2-а)

Ответ: при 𝑎 ≠ 0 и 𝑎 ≠ 2, единственное решение x= (3𝑎+7 ) / (2−𝑎)

при 𝑎 = 0 или 𝑎 = 2, нет корней

Линейные уравнения с параметром при наличии дополнительных условий к корням уравнения.

Задача №4. При каких значениях параметра а уравнение ( − 1) ∙ х = − 2𝑎 − 3 имеет единственное решение, принадлежащее лучу [−1;+∞).

• Найдем контрольные значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в нуль:

− 1 = 0 = 1 𝑎 = ±1

2) Если а=1, то уравнение принимает вид 0х= -4, т.е. при а=1 уравнение не имеет решений, и условие задачи не выполняется

3) Если а=-1, то уравнение принимает вид 0х=0, 𝑥 ∈ 𝑅. Условие задачи не выполняется.

4) Если а ≠ 1; а ≠ −1 , то уравнение имеет единственное решение: х = −2а−3)/ (−1) х = (а+1)(а−3)/ (а+1)(а−1) х = ( а−3 )/ (а-1 )

Тогда, (а−3) / (а−1) ≥ −1 ( 𝑎−3+𝑎−1) / (𝑎−1) ≥ 0 (2𝑎−4) / (𝑎−1) ≥ 0 (𝑎−2) / (𝑎−1) ≥ 0

Ответ: при 𝑎 ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ [2; +∞ ]

Дробно - рациональные уравнения, сводящиеся к линейным.

Задача №1. Решите уравнение + =

Решение. 1) О.Д.З.: (𝑚 − 1)(𝑥 + 3) ≠ 0 Отсюда 𝑚 ≠ 1; 𝑥 ≠ −3

2) При m=1 , уравнение не имеет корней.

3) При 𝑚 ≠ 1 : Преобразуем исходное уравнение: + = | ∙ (𝑚 − 1)(𝑥 + 3) ≠ 0

3𝑚𝑥 − 5 + (3𝑚 − 11)(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 7)(𝑚 − 1)

3𝑚𝑥 − 5 + 3𝑚𝑥 + 9𝑚 − 11𝑥 − 33 = 2𝑥𝑚 − 2𝑥 + 7𝑚 − 7

4𝑚𝑥 − 9𝑥 = 31 − 2m

Получим уравнение вида ax=b (4m-9)𝑥 = 31 − 2m

Контрольные значения параметра: 4𝑚 − 9 = 0 𝑚 =

Если 𝑚 = 2,25 , то 0 ∙ 𝑥 = 31 − 4,5 0 ∙ 𝑥 = 26,5

уравнение не имеет решений.

Если 𝑚 ≠ , то 𝑥 = – единственное решение

4) Учтем О.Д.З.: Найдем значение параметра m, при котором этот корень принимает значение -3

Имеем: = −3 −3(4𝑚 − 9) = 31 − 2𝑚

− 12𝑚 + 27 = 31 − 2𝑚 −10𝑚 = 4 𝑚 = − 0,4

При 𝑚 = − 0,4 уравнение не имеет решений

Ответ: при m = −0,4 ; m = 1; m = 2,25 решений нет;

при m ∈ (−∞; − 2 5 ) ∪ (− 2 5 ; 1) ∪ (1; 9 4 ) 𝑥 = .

Задача №2. При каких значениях параметра а

не имеет решений уравнение − =

Решение. 1) О.Д.З.: 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 2 и 𝑥 ≠ −2

2) На О.Д.З. преобразуем исходное уравнение:

- = |· (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) ≠ 0

(𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 2) − 𝑥(𝑥 − 2) = 1 + 2𝑥 − 𝑎𝑥 − 2𝑎 − + 2𝑥 = 1

2𝑥 − 𝑎𝑥 + 2𝑥 = 2𝑎 + 1 4𝑥 − 𝑎𝑥 = 2𝑎 + 1

(4 − 𝑎) ∙ 𝑥 = 2𝑎 + 1 Получим уравнение вида ax=b

Контрольные значения параметра: 4 − 𝑎 = 0 𝑎 = 4

Если 𝑎 = 4, то уравнение 0 ∙ 𝑥 = 9 не имеет решений. Если 𝑎 ≠ 4, то 𝑥 = – единственное решение

3) Вернемся к области допустимых значений.

Найдем значения параметра а, при которых этот корень принимает значения 2 и -2.

1) = 2 2) = −2

2𝑎 + 1 = 2(4 − 𝑎) 2𝑎 + 1 = −8 + 2𝑎

2𝑎 + 1 = 8 − 2𝑎 0 ∙ 𝑎 = −9

4𝑎 = 7 решений нет

𝑎 = 𝑎 = 1,75

Ответ: при a=1,75 и a=4

уравнение не имеет решений .