Подготовка к ЕГЭ - 2021, занятие 2. Позиционные системы счисления, задание 14. Практикум.

Подготовка к ЕГЭ – 2021, Занятие 2.

Позиционные системы счисления, задание 14 (версия ДЕМО).

Обозначим через N основание системы счисления.

Тогда наибольшая цифра в системе счисления с основанием N равна N-1.

Следует помнить, что:

• Любое основание N в своей  системе счисления выглядит  как 10, т.е.

N₁₀ = 10_N

(например: 2₁₀=10₂, 3₁₀=10₃, 8₁₀=10₈, 16₁₀=10₁₆  и  так далее).

• Степень любого основания N в своей  системе счисления выглядит как  единица и количество нулей,  равных  степени, т.е.  

N^k =   1 0…0_N

^k

(например: 4=2²=100₂, 8=2³ =1000₂, 16=2⁴=10000₂ и  так далее).

• Число, стоящее перед k-той степенью основания, в своей системе счисления выглядит как последовательность из  k  самых больших цифр этой системы  счисления, т.е.

N^k - 1 =  (N-1)…(N-1)_N

^k

Тогда      2^k – 1 =  1…1₂   

^k                          

(например: 3=2²-1=11₂, 7=2³ -1=111₂, 15=2⁴-1=1111₂ и  так далее).

• Число N^k– N^m = N^k · (N^k-m – 1) записывается в системе счисления с основанием N как k-m старших цифр этой системы счисления, за которыми следует k нулей:

N^m – N^k = (N-1)…(N-1) 0…0_N

^{m – k k}

Тогда

2^m – 2^k = 1…1 0…0₂

^{m – k k}

(например: 10³ - 10² = 900, 10³ - 10¹ = 990, 10⁵ - 10³ = 99000, 2⁵ – 2² = 11100₂, 3⁵ – 3² = 22200₃  и  так далее).

Примеры и способы решения задач.

Задача 1.

Сколько единиц в двоичной записи числа 8¹⁰²⁵ + 2¹⁰²⁴ – 3 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 3 = 4 - 1:

8¹⁰²⁵ + 2¹⁰²⁴ – 3 = 2³⁰⁷⁵ + 2¹⁰²⁴ – 2² + 2⁰

Количество единиц в разности 2¹⁰²⁴ – 2² будет 1024-2 = 1022 единицы + 1 единица (число 2⁴⁰³²) + 1 единица от числа 2⁰, то всего получаем 1022+1+1 = 1024 единицы.

Ответ: 1024.

Задача2.

Сколько единиц в двоичной записи числа 8²⁰¹⁴ – 2⁶¹⁴ + 45?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 45 = 32 + 8 + 4 + 1:

8²⁰¹⁴ – 2⁶¹⁴ + 45 = 2⁶⁰⁴² - 2⁶¹⁴ + 2⁵ + 2³+ 2² + 2⁰

Количество единиц в разности 2⁶⁰⁴² - 2⁶¹⁴ будет 6042 – 614 = 5428 единиц + 4 единицы от чисел 2⁵, 2³, 2² и 2⁰ , то всего получаем 5428+4 = 5432 единицы.

Ответ: 5432.

Задача 3.

Значение арифметического выражения 4¹⁰ + 2⁹⁰ - 16 записали в системе счисления с основанием 2. Сколько цифр «1» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней:

2²⁰ + 2⁹⁰ – 2⁴ = 2⁹⁰ + 2²⁰ – 2⁴

Тогда 2⁹⁰ = 1₂ , в разности 2²⁰ – 2⁴ будет 16 (20-4) единиц и 4 нуля. Следовательно, в полученном результате получаем всего 16 + 1 = 17 единиц.

Ответ: 17

Задача 4.

Значение арифметического выражения 64¹⁰ + 2⁶⁰ - 16 записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 8 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 16 = 8 + 8:

4¹² + 2⁶⁰ - 16 = 8²⁰ + 8³⁰ – 16 = 8³⁰ + 8²⁰– 8¹ – 8¹

Ищем в разности крайнюю левую степень восьмерки и крайнюю правую 8²⁰ – 8¹, при этом среднюю 8¹ на время «теряем».

Определяем количество семерок в разности 8²⁰ – 8¹, получаем 20 - 1 = 19 семерок.

Так как «внутри» этой разности есть еще 8¹, то просто вычитаем одну семерку: 19 – 1 = 18.

Ответ: 18.

Задача 5.

Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁸ + 8³⁰⁵ – 2¹³⁰ – 120?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 45 = 32 + 8 + 4 + 1:

4²⁰¹⁸ + 8³⁰⁵ – 2¹³⁰ – 120 = 2⁴⁰³⁶ + 2⁹¹⁵ – 2¹³⁰ - 2⁷ + 2³

Ищем в разности (2⁹¹⁵ – 2¹³⁰ - 2⁷ ) крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 2⁹¹⁵– 2⁷, при этом среднюю 8¹ на время «теряем».

Определяем количество семерок в разности 2⁹¹⁵– 2⁷, получаем 915-7 = 908 единиц.

Так как «внутри» этой разности есть еще 2¹³⁰, то просто вычитаем одну единицу:

908 – 1 = 907.

Прибавляем 2 единицы от чисел 2⁴⁰³⁶ и 2³, то всего получаем 907 + 2 = 909 единиц.

Ответ: 909.

Задача 6.

Значение арифметического выражения 9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 19 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 3 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 19 = 27 – 8 + 1+1:

9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 27 + 9 - 1 -1 = 3¹⁸ + 3³⁸ – 3³ + 3² – 3⁰ = 3³⁸ + 3¹⁸ – 3³ + 3² – 3⁰ – 3⁰

Разбиваем нашу запись на две разности 3¹⁸ – 3³ и 3² – 3⁰ и вычисляем их отдельно:

Количество двоек в разности 3¹⁸ – 3³ будет 18-3 = 15, в разности 3² – 3⁰ будет равно 2, всего 15 + 2 = 17 двоек. Вычитаем из них еще раз 3⁰ = 1. При этом последняя цифра меняется как 2-1=1, в результате получаем 17-1 = 16 двоек.

Ответ: 16.

Задача 7.

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 250 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 2⁸ – 2² - 2¹:

4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 256+ 4 + 2 = 2¹⁰²⁴ + 2¹⁵³⁶ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹ =

= 2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹

Ищем в разности 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 2¹⁰²⁴ –2⁸ , при этом среднюю 2¹²⁸ на время «теряем».

В разности 2¹⁰²⁴ –2⁸ будет 1024-8 = 1016 единиц и 8 нулей.

Так как «внутри» этой разности есть еще 2¹²⁸, то просто заменяем одну единицу (на 128 месте) на ноль и получаем 1015 единиц и 9 нулей.

С этого момента можно решать задачу двумя способами:

1) Между 2¹⁵³⁶ и 2¹⁰²⁴ (до конца числа) есть еще 1536-1024=512 нулей, два из которых заняты единицами (2²+2¹), тогда получаем еще 512-2 = 510 нулей.

Итого в результате вычислений получаем 510+9 = 519 нулей.

Можно показать это вычисление на схеме, где вычисляемая выше разность выделена желтым цветом:

Всего 1 ед. + 1534 нуля + 2 ед.в конце _

1 ед.+1022 нуля + 2 ед.в конце

2¹⁵³⁶ _ + _ 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2 ²+ 2¹

1 ед. + 510 нулей + 1015 ед. + 9 нулей + 2 ед.

2) Посчитать общее число единиц после выполнения вычислений и вычесть их общей длины исходного двоичного числа.

2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹

1 ед. + 1015 ед. + 2 ед . = 1018 ед.

Так как 2¹⁵³⁶ = 10…0 ₂ равна 1537 знаков, то в нем будет 1537-1018 = 519 нулей.

^{1+ 1536}

Ответ: 519.

Задача 8.

Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 6 = 4 + 2:

4²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6 = 2⁴⁰³² + 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰ + 2² + 2¹

После перевода числа 2⁴⁰³² в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Количество единиц в разности 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰ будет 2018-1800 = 218 единиц + 1 единица (число 2⁴⁰³²) + 2 единицы от чисел 2² и 2¹, то всего. Итого получаем 218+3 = 221 единицу.

Ответ: 221.

Задача 9.

Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 80 = 64 + 16:

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80= 2⁴⁰³²- 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ - 2⁴ = 2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ - 2²⁰¹⁸– 2⁶ - 2⁴

Далее рассмотрим два способа решения задачи.

Способ 1.

После перевода числа 2⁴⁰³² в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Из записи 2²⁴⁰⁰ - 2²⁰¹⁸– 2⁶ - 2⁴ возьмем разность первого и последнего чисел 2²⁴⁰⁰ - 2⁴ и получаем 2396 единиц. Вычитаем из них 2 единицы, которые дают числа 2⁶ и 2⁴ , остается 2394 единицы.

Тогда всего получаем 1 + 2394 = 2395 единиц.

Способ 2.

Будем решать данную задачу путем последовательных вычитаний.

После перевода числа 2⁴⁰³² в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Количество единиц в разности 2⁴⁰⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ будет 4000-2018 = 382 и 2018 нулей.

Оставляем 381 единицу, остается 1 единица и 2018 нулей, что равно числу 2²⁰¹⁸.

Далее, в разности 2²⁰¹⁸ - 2⁶ будет 2012 единиц и 6 нулей.

Оставляем 2011 единиц, остается число 2⁶. Тогда разность 2⁶ – 2 ⁴ получаем 2 единицы.

Складываем все единицы и получаем 1 + 381 + 2011 + 2 = 2395 единиц.

Ответ: 2395.