Подготовка к экзаменам

Задания типа №19 по демоверсии 2015 года.

1. Вспомним:

1) 1% - это 0,01

2) Основные соотношения и выражениями, встречающиеся при решении задач на проценты:

• Число a составляет p% от числа в:

a = = 0,01bp

• Число а увеличили на p%:

a·(1+0,01p)

• Число а увеличили сначала на p%, а потом еще на q%:

a·(1+0,01p)·(1+0,01q)

• Число а уменьшили на p%:

a·(1 - 0,01p)

3) Задачи, связанные с изменением цены

Пусть S_o – первоначальная цена, S – новая (окончательная ) цена.

• Повышение цены на a% n раз на a%

S= S_o ·(1+0,01a) S= S_o ·(1+0,01a)ⁿ

• Понижение цены на a% n раз на a%

S= S_o ·(1-0,01a) S= S_o ·(1-0,01a)ⁿ

• Удобно пользоваться схематичной записью:

S_o ·(1+0,01a)

a %

Sо d%

S_o ·(1+0,01a)( 1-0,01d)

Пример 1.

Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%.Изменилась ли первоначальная цена и если да, то на сколько процентов?

S= S_о(1-5·0,01) (1+5·0,01)

S _o

5% 5%

S_о(1-5·0,01)

S= S_о(1-5·0,01) (1+5·0,01)= S_о(1-25·0,0001).

Ответ. Понизилась на 25%.

Пример 2.

После двух последовательных понижений цены товар стал стоить 2400 руб. Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а процент второго пониженения был на 5% больше, чем процент первого?

x руб

У%

X(1 – 0,01y)=3200

(y+5)%

2400 руб.

Получаем систему:

3200·(1-(y+5)·0,01) = 2400;

(1-(y+5)·0,01) = ; (y+5)·0,01 = ; y+5 = 25; y=20%

X(1 – 0,01·20)=3200; X·0,8=3200; X=4000.

Ответ: 4000руб; 20%.

Пример 3.

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

1 способ.

Имеем уравнение: 5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0;

Х=2 622 050.

Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 622 050 руб.

Ответ: 2 622 050 руб.

2 способ.

Ответ: 2 622 050 руб.

Пример 4.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

1 способ.

Имеем уравнение: 11055669,43359375- 4,814453125Х = 0;

Х=2 296 350.

Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 296 350 руб.

Ответ: 2 296 350 руб.

2 способ.

Пусть S – cумма кредита, годовые а%. , в=1+0,01а .

31.12.2015 г. S₁ = Sb-X

31.12.2016 г. S₂ = S₁b-X = (Sb-X)b-X = Sb² – (1+b)X

31.12.2017 г. S₃ = S₂b-X= (Sb² – (1+b)X)b –X = Sb³ – (1+b+b²)X=

= Sb³ –

31.12.2018 г. S₄ = S₃b-X= Sb⁴ – (1+b+b²)bX-X= Sb⁴ – (1+b+b²+b³)X=

= Sb⁴ –

При S=6 902 000, в = 1,125 находим S из уравнения Sb⁴ –

Напомним: (a-1)(a²+a+1)= a³-1 отсюда a²+a+1 =

(a-1)(а³+a²+a+1)= a⁴-1 отсюда а³+ a²+a+1 =

Пример 5.

31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит определенный транш. Антон выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. руб. Под какой процент банк выдал кредит Антону?

Решение. b=1+0,01a

100a²+14900a – 159000 - 64900=0;

a²+149a - 1590=0;

a₁=10; a₂ = -159.

По смыслу задачи a0, поэтому кредит выдан под 10%.

Ответ: 10%.

Пример 6.

31 декабря 2014 Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за з равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

1 способ.

12 108 096-3,64Х =0

Х= 3 326 400; 3Х=9 979 200

10 090 080 – 2,2Y =0; Y= 4 586 400; 2Y= 9 172 800

Значит, 3Х-2Y= 9 979 200 - 9 172 800 = 806 400.

Ответ: 806 400 руб.

II способ.

1. S₃ = S₂b-X= (Sb² – (1+b)X)b –X = Sb³ – (1+b+b²)X= Sb³ –

По условию задачи Sb³ – =0, откуда Х =

1. S₂ = S₁b-Y = (Sb-Y)b-Y= Sb² – (1+b)Y, откуда Sb² – (1+b)Y=0, Y =

Пример 7. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб. – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:

Sb³ =0. Откуда X= .

Ответ. 3 993 000 руб.

Пример 8.В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же φиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение.

50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза.

Будем рассуждать следующим образом:

1. Вкладчик ничего не добавляет к первоначальной сумме:

1. Первая добавка х рублей была внесена через год:

1. Вкладчику это понравилось, и он стал повторять процесс (вносить х руб.) каждый год:

Через 5 лет вкладчик забрал все деньги из последнего столбика:

а) Добавки принесли доход

1,5х +1,5²х +1,5³х +1,5⁴х = x(1,5 +1,5² +1,5³ +1,5⁴)= = 3·х·(1,5⁴-1)= .

б) Известно, что размер вклада увеличился на 725%, т.е. увеличился в 8,25 раз

1,5⁵·3 900 + = 3 900·8,25; =3 900·8,25 - 1,5⁵·3 900;

Х= 210.

Ответ: 210руб.

Примечание: Применим формулу суммы п-первых членов геометрической прогрессии:S_n=

Пример 6. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб. – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:

Sb³ =0. Откуда X= .

Ответ. 3 993 000 руб.

Задача 3. УМК для экспертов

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение. Представим таблицей реальную ситуацию, описанную в условии задачи:

15%+14,5%+14%+13,5%+13%+52,5% =122,5%

122,5% - 100% = 22,5%

Ответ: 22,5.