Подготовка к ВПР.Математика.

Подготовка к ВПР.

Математика.

Собрала материал:

Кулиненко Н.И .

Света и Маша хотят купить куклу. У Светы есть только некоторое количество монет достоинством в 1 руб. Ей не хватает до покупки куклы 85 руб. У Маши тоже есть деньги, но ей не хватает до покупки этой куклы 2 руб. Если девочки сложат свои деньги вместе, им всё равно не хватит денег на покупку куклы. Сколько стоит кукла?

Маше не хватает до покупки 2 руб. Поэтому у Светы меньше 2 руб., иначе при сложении денег вместе им хватило бы на покупку. Поскольку у Светы есть деньги, причём в однорублёвых монетах, то у неё всего одна такая монета. Но Свете не хватает до покупки 85 руб. Значит, кукла стоит 86 руб.

При записи номеров страниц в детской книжке было использовано 177 цифр (страницы нумеруются с первой).

Сколько страниц в книжке?

С 10-й по 99-ю страницу нумерация двузначная (90 страниц), и требуется: 90 · 2 = 180 цифр.

Всего использовали 177 цифр, что меньше 189, а значит, количество страниц в книжке выражается двузначным числом. На страницы с двузначной нумерацией понадобилось: 177 − 9 = 168 цифр.

168 : 2 = 84 (страницы с двузначной нумерацией).

Итого: 9 + 84 = 93 (страницы в книжке).

В школьном буфете две чашки чая, один пирожок и четыре конфеты стоят 48 руб., а четыре чашки чая, пять пирожков и две конфеты — 66 руб. Сколько рублей заплатил мальчик за покупку одной чашки чая, одного пирожка

и одной конфеты?

Решение:

1) 66 + 48 = 114 (руб.) — всего денег

2) 2 + 4 = 6 (шт.) — всего чашек чая.

3) 5 + 1 = 6 (шт.) — всего пирожков.

4) 4+2 = 6 (шт.) — всего конфет.

5) 114:6 = 19 (руб.) заплатил мальчик

19 рублей мальчик заплатил за 1 чашку чая, 1 пирожок и 1 конфету.

Куртка на 700 руб. дешевле, чем пять шапок, но на 200 руб. дороже, чем две шапки. Сколько стоит шапка?

Обозначим стоимость одной шапки за x (руб.). Тогда 5 шапок стоят 5x. 5x − 700 — стоимость куртки.

Во втором случае мы получим стоимость куртки следующим образом: 2x + 200.

Составим уравнение:

2х + 200 = 5х − 700

5х − 2х = 200 + 700

3х = 900

Итого: х = 300 (руб.) — стоит одна шапка

Слава собирался купить 20 конфет, но ему не хватало для этого 3 руб. Тогда Слава купил 15 конфет, и у него осталось 7 руб. сдачи. Сколько стоит одна конфета?

Решение:

20 − 15 = 5 (к.) — разница в конфетах

7 + 3 = 10 (руб.) — нужно денег на 5 конфет

10 : 5 = 2 (руб.) — стоит одна конфета

Ответ: 2 рубля стоит одна конфета

Дедушка с бабушкой, отправившись в лес за грибами, взяли с собой внука Артёма и внучку Настю. Все вместе они собрали 89 грибов. При этом бабушка вместе с Настей собрали не меньше, чем 45 грибов, а больше всех грибов

собрал дедушка. Какое наибольшее число грибов мог собрать Артём?

Так как бабушка вместе с Настей собрали не меньше 45 грибов, тo кто-то из них двоих собрал больше 22 грибов (если бы и Настя и бабушка собрали не больше, чем по 22 гриба, то вдвоём они собрали бы не больше 44 грибов).

То есть либо Настя собрала не меньше, чем 23 гриба, либо бабушка собрала не меньше, чем 23 гриба. А поскольку дедушка собрал больше всех грибов, то дедушка собрал не меньше, чем 24 гриба. Отсюда следует, что бабушка, Настя и дедушка вместе собрали не меньше, чем 45 + 24 = 69 грибов. Поэтому на долю Артёма остаётся не больше, чем 89 − 69 = 20 собранных грибов.

Четыре бельчонка съели вместе 34 ореха. При этом первый бельчонок съел меньше всех орехов, а второй и третий вместе съели не больше 17 орехов. Какое наименьшее число орехов мог съесть четвёртый бельчонок?

Решение:

1) 34 - 17 = 17 (орехов) — не меньше 17 орехов съели первый и четвёртый бельчонок.

2) 17 : 2 = 8 и 1 в остатке, значит, четвёртый бельчонок съел не меньше 9 орехов.

Если четвёртый бельчонок съел 9 орехов, то первый съел 8 орехов. Но при таком условии, это будет не наименьшим количеством орехов. Тогда четвертый бельчонок съел 10 орехов.

На кухне у бабушки в вазочке лежало 25 конфет. В течении дня её внучки Даша, Марина и внук Витя съели все эти конфеты. Причём Даша съела конфет в два раза больше, чем Марина, а Витя съел конфет больше, чем Maрина, но меньше, чем Даша. Сколько конфет съел Витя?

1) Если Марина съела не больше 5 конфет, то Даша съела не больше 5 · 2 = 10 конфет. Тогда на долю Вити осталось не меньше, чем 25 − 5 − 10 = 10 конфет. Но это противоречит условию «Витя съел конфет меньше, чем Даша». Значит, наше предположение неверно, и Марина съела больше 5 конфет.

2) Допустим, Марина съела 6 конфет, тогда Даша съела 12 конфет, а Вите досталось 25 − 6 − 12 = 7 конфет. При этом все условия задачи будут выполнены.

3) Если же Марина съела бы 7 конфет (или больше), тогда Даша съела бы 14 конфет (или больше), а Вите досталось бы 25 − 7 − 14 = 4 конфеты (или меньше). Но это противоречит условию «Витя съел конфет больше, чем Марина»

4) Рассмотрев все случаи, приходим к выводу, что единственным возможным вариантом является тот, при котором

Марина съела 6 конфет, Даша 12 конфет, a Витя 7 конфет.

Миша коллекционирует почтовые марки, посвящённые природе и содержащие изображения трёх типов: с животными, с растениями или с природными ландшафтами. На данный момент его коллекция состоит из 62 марок, причём марок с животными ровно в три раза больше, чем марок с растениями, а марок с ландшафтами больше, чем марок с растениями, но меньше, чем половина от числа марок с животными. Сколько в Мишиной коллекции марок с ландшафтами?

Решение: Пусть  х  — количество марок с растениями, тогда 3 х  — количество марок с животными. Если бы марок с ландшафтами было столько же, сколько марок с растениями т. е.  x , то общее количество марок было бы х + 3х + х = 5x. По условию марок с ландшафтами больше, чем марок с растениями, поэтому их общее количество больше 5 x . Всего у Миши 62 марки, поэтому  x  меньше 13.

Проверим число 12: если марок с растениями 12, то марок с животными 3 · 12 = 36, следовательно, марок с ландшафтами — 62 − 12 − 36 = 14. Это число больше 12, но меньше 36 : 2 = 18, т. е. удовлетворяет условию. Следовательно, количество марок с ландшафтами равно 14.

Группу из 387 школьников и 63 сопровождающих их педагогов, прибывших на заключительный этап всероссийской олимпиады по математике, разместили в гостиничном комплексе в двухместных и трёхместных номерах.

Сколько человек разместили в трёхместных номерах, если известно, что всего оказались задействованы 190 номеров, и при этом ни в одном из номером не было пустующего места?

Всего в 190 номерах разместили 387 + 63 = 450 человек. Если бы все номера были двухместные, то в них было бы размещено 190 · 2 = 380 человек. Но на самом деле было размещено на 70 человек больше (450 − 380 = 70). Значит, вместо 70 двухместных номеров было использовано 70 трёхместных. При этом число людей, размещённых в трёхместных номерах, составило 70 · 3 = 210 человек.

На утренний и дневной киносеансы нового мультипликационного фильма «Смешарики. Легенда о золотом драконе» было продано 240 билетов общей стоимостью 31000 рублей. Цена билета на утренний сеанс равна 100 рублей, а цена билета на дневной сеанс — 150 рублей. Сколько было продано билетов на дневной сеанс?

Если бы все 240 билетов были проданы на утренний сеанс, то их общая стоимость составила бы 240 · 100 = 24000 рублей. Но на самом деле общая стоимость билетов составила 31000 рублей, т. е. на 7000 рублей больше. Пусть X — искомое число билетов, проданных на дневной сеанс. Заметим, что поскольку разница по цене между билетом на дневной сеанс и на утренний сеанс составляет 150 − 100 = 50 рублей, то продав вместо X билетов утреннего сеанса X билетов дневного сеанса, мы получаем на 50 · X рублей больше. Значит, 7000 = 50 · X, откуда X = 7000 : 50 = 140.

Ответ: 140.

В последнее воскресенье музей посетило 150 человек, при этом все вместе они заплатили за билеты 12000 рублей. Детский билет стоит 50 рублей, а взрослый — 100 рублей. Сколько детей было среди посетителей?

Решение: Пусть детский билет это 50х, а взрослый билет это 100у. Тогда получается, что 50х + 100у = 12000. Кроме того, x + y = 150. Тогда х = 150 - y. Следовательно,

50 · (150 - y) + 100y = 12000

7500 - 50y +100y = 12000

50y = 12000 - 7500

50y = 4500

y = 90

Следовательно, было 90 взрослых и 150 - 90 = 60 детей.

Ответ: 60.

На новогодние праздники мама купила детям шоколадки трёх видов: большие, средние и маленькие. Каждая большая шоколадка стоила 60 рублей, средняя — 40 рублей, а маленькая — 20 рублей. 3а 15 шоколадок мама за-платила 800 рублей. Какое наименьшее число больших шоколадок могла купить мама?

1 ) допустим, что мама купила 10 больших шоколадок. Так как среди остальных пяти шоколадок, купленных мамой, должна быть хотя бы одна маленькая, то их стоимость не превосходит 1 · 20 р. + 4 · 40 р. = 180 р., при этом стоимость всех 15 шоколадок не превосходит 10 · 60 р. + 180 р. = 780 рублей. Если же больших шоколадок было бы меньше 10, то общая стоимость шоколадок была бы меньше 780 рублей. Но общая стоимость шоколадок по условию равна 800 рублей. Полученное противоречие показывает, что больших шоколадок было куплено больше 10 штук, т. е. не меньше 11.

2) Если мама купила 11 больших шоколадок, 1 маленькую и 3 средних, то общая стоимость этих 15 шоколадок составит 11 · 60 р. + 1 · 20 р. + 3 · 40 р. = 800 рублей — все условия задачи выполнены. Этот пример показывает, что тот случай, когда среди купленных шоколадок было 11 больших, действительно возможен.

Ответ: 11.

В «Детском мире» продавали двухколёсные и трёхколёсные велосипеды. Максим пересчитал все рули и все колёса. Получилось 12 рулей и 27 колёс. Сколько трёхколёсных велосипедов продавали в «Детском мире»?

Поскольку рулей 12, то и велосипедов 12.

Если бы все велосипеды были двухколёсные, то колёс было бы 12 · 2 = 24.

Но колёс всего 27, то есть на 3 больше. Значит, среди велосипедов было 3 трёхколёсных.

Должно быть также засчитано решение:

3 · 3 + 9 · 2 = 27. Поэтому трёхколёсных велосипедов 3.