Понятие вектора. Равенство векторов.

Многие физические величины, например

сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами ( или коротко векторами)

A

1Н

8 Н

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

В

2

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором

АВ

Вектор

Конец вектора

ВА

Вектор

В

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ

АВ = АВ

Начало вектора

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

a

А

а

Вектор

3

Любая точка плоскости также является вектором.

В этом случае вектор называется нулевым

MM

Вектор

M

0

Вектор

Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Длина нулевого считается равной нулю

MM = 0

4

Назовите векторы, изображенные на рисунке.

Укажите начало и конец векторов.

Вектор

Е F

F

A

AB

Вектор

Вектор

CD

E

C

NN

Вектор

или

0

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

В

D

N

5

При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин.

Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля.

На рисунке изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда.

E

+

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

6

Н а п р а в л е н и е т о к а

Электрический ток, т.е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции.

На рисунке изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током.

B

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

7

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные, сонаправленные векторы

a

c

b

b

c

b

c

a

a

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Нулевой вектор считается коллинеарным, сонаправленным с любым вектором.

o

o

o

c

a

b

8

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные,

противоположно направленные векторы

c

b

a

b

c

b

a

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

9

Векторы называются равными,

если они сонаправлены и их длины равны.

a

1

b

С

В

a

b

2

=

О

А

D

АВС D – параллелограмм.

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

AD = BC .

C В = DA ;

A В = DC ;

В A = CD ;

Найдите еще пары равных векторов.

О – точка пересечения диагоналей.

10

a

Если точка А – начало вектора , то говорят, что

вектор отложен от точки А

a

От любой точки М можно отложить

вектор, равный данному вектору ,

и притом только один.

a

a

c

c

a =

c

a

a

a

c

Вектор отложен от точки А

=

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

А

М

11

a

Отложить вектор, равный

n

1

М

от точки М

a

c

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

D

2

от точки D

12

№ 745 В прямоугольнике АВС D АВ=3см, ВС=4см, точка М – середина стороны АВ. Найдите длины векторов.

АВ =

3

4

В C =

4

С

В

3

D С =

M А =

1,5

3

5

M

СВ =

4

5

АС =

D

А

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

13

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных

(сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ .

P

N

M

Q

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

MQ

NP

QM

PN

PQ

QP

MN

NM

14

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных

(противоположно направленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ .

P

N

M

Q

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

QM

NP

NM

PN

PQ

MQ

QP

MN

15

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных

(сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами трапеции АВС D с основаниями AD и BC .

В

С

А

D

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

AD

СВ

DA

СВ

ВС

ВС

DA

AD

Сонаправленные

векторы

Противоположно направленные

векторы

16

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных

векторов, которые определяются сторонами треугольника FGH.

G

F

H

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Коллинеарных векторов нет

16

№ 74 8 В параллелограмме АВС D диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы.

Обоснуйте ответ.

С

В

О

А

D

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

A С = В D .

A О = О C ;

ВС = D А;

A В = DC ;

18

АВС D – квадрат, АВ = 4. Заполните пропуски:

1. АВ и CD – …

4

В

С

2. ВС … С D , так как …

4

О

3. АО = …

4. ВО = АО, так как …

D

А

Н.Ф. Гаврилова «Поурочные разработки по геометрии: 9 класс».

5. СО = СА, так как …

6. DD … , DD = …

19

АВС D – параллелограмм.

По данным рисунка найти

= 12

АВ

С

В

12

6

30 0

D

К

А

20

АВС – равнобедренный треугольник.

О – точка пересечения медиан.

По данным рисунка найти

= 2

DO

В

= 4

В O

10

6

O

А

2

8

D

16

С

21