Построение таблиц истинности и переключательных схем

Тема: «Построение таблиц истинности и переключательных схем».

Цель: Научить учащихся строить логические функции по таблицам истинности.

Отработать умение составлять таблицы истинности по логическим функциям.

Выяснить качество усвоения теоретического материала и проверить знания по теме

«Логические схемы».

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, электронный тест, раздаточный

дидактический материал.

Ход урока:

1. Постановка целей урока.(2 минуты)

1. Проверка домашнего задания. Выполнение электронного теста.(12 минут)

2. Самостоятельная по теме «Логические схемы».(12 минут)

3. Объяснение нового материала.(10 минут)

4. Закрепление нового материала.(5 минут)

5. Домашнее задание.(2 минуты)

6. Итоги урока. (2 минуты)

1. Постановка целей урока.

Предметные: Таблица истинности сложного логического выражения. Как её правильно составить и использовать?

Метапредметные: Каким образом алгебра логики связана с компьютером?

Знаете ли вы что такое ДНФ, чем она отличается от СДНФ?

2 Проверка домашнего задания

Решение задач проверяется у доски. В это время группа учащихся выполняет электронный тест за компьютерами. Обсудив решение домашнего задания, они меняются местами: то есть кто-то отвечает на вопросы теста, а кто-то пишет самостоятельную работу по логическим схемам.

Решение задания № 1:

Для формулы А&(Bv(B&C)) построить таблицу истинности.

Алгоритм построения Т.И.

1. Подсчитать количество переменных n в формуле;

2. Определить число строк в таблице m=2ⁿ;

3. Подсчитать количество логических операций в формуле

4. Установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. Определить количество столбцов в таблице: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n разрядных двоичный чисел от 0 до 2ⁿ -1;

7. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические

операции в соответствии с законами логики.

Можно составлять таблицу истинности по другому!

Решение задания № 2:

Для формулы (х₁& x₂ ) v (¬х₁ v x₂) построить таблицу истинности, используя иной способ заполнения:

Под формулой (х₁& x₂ ) v (¬х₁ v x₂) подпишем столбцы возможных значений под каждой из переменных (х₁ и х₂); последовательно (по приоритету операций) выпишем столбцы значений операций.

( x₁ & x₂ ) v ( ¬ х₁ v x₂ )

0 0 0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

Можно писать &x₁x₂ вместо x₁&x₂, тогда вместо (x₁&x₂) v (¬x₁ v x₂) можно записать

&x₁x₂ v ¬x₁x₂

Выполнение электронного теста:

1. Чему равно двойное отрицание простого высказывания?

а) 1

б) исходному высказыванию

в) 0

1. Соединение двух высказываний с помощью логического оборота «Если…, то…» называется?

а) логическое равенство

б) импликация

в) эквиваленция

1. Наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над высказываниями называется?

а) алгебра логики

б) логическая арифметика

в) логическая математика

4. Сколько простых логических операций существует?

а) 3

б) 4

в) 5

1. Повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается, называется…

а) высказывание

б) понятие

в) логическая переменная

1. Составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей,

соединенных между собой с помощью логических операций, называется…

а) логическая функция

б) логическая переменная

в) составное высказывание

1. Кто был основателем алгебры логики?

а)Буль

б) Лейбниц

в) Аристотель

1. Как называется устройство, способное хранить 1 бит информации?

а) шифратор

б) сумматор

в) триггер

1. Объединение двух высказываний с помощью союза и называется?

а) дизъюнкция

б) конъюнкция

в) логическое сложение

10 Дистрибутивный закон логики называется…

а) ассоциативный

б) сочетательный

в) распределительный

1. Форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета,

позволяющие отличать его от других?

а) высказывание

б) понятие

в) логическая переменная

1. Произведение, в котором каждая переменная встречается только один раз,

называется?

а) минтерм

б) терм

в) логическая функция

1. Назови учёного, который основал двоичную систему счисления?

а) де Морган

б) Лейбниц

в) Буль

14.Какой закон утверждает, что противоречивые высказывания не могут быть

истинными одновременно?

а) закон непротиворечия

б) закон идемпотентности

в) закон исключённого третьего

2.Самостоятельная по теме «Логические схемы».

Вспомним правило построения логических схем:

1) Определите число логических переменных.

1. Определите количество базовых логических операций и их порядок.

1. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.

2. Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Задание на карточках.

Вариант № 1.

1. Нарисуйте логическую схему для следующего логического выражения. Составьте

таблицу истинности.

F = А v

1. По логической схеме составьте формулу:

НЕ

&

НЕ

или

Вх2 Вых2

Вариант № 2.

1. Нарисуйте логическую схему для следующего логического выражения. Составьте

таблицу истинности.

F = А & .

1. По логической схеме составьте формулу:

или

НЕ

И

НЕ

НЕ

или

Вх3

Вариант № 3.

1. Нарисуйте логическую схему для следующего логического выражения. Составьте таблицу истинности.

F = Х v .

1. По логической схеме составьте формулу:

НЕили

НЕ

&

или

Вх2

Вх3 Вых2

Вариант № 4.

1. Нарисуйте логическую схему для следующего логического выражения. Составьте таблицу истинности.

F= (Х v Z) & (X v

1. По логической схеме составьте формулу:

X ¬Y

Z

Вариант № 5.

1.Нарисуйте логическую схему для следующего логического выражения. Составьте таблицу истинности.

F = .

1. По логической схеме составьте формулу:

¬X Z

X Z

Вариант № 6

1. Нарисуйте логическую схему для следующего логического выражения.

F = .

1. По логической схеме составьте формулу:

Вх1

или

не

Вх2 вых 1

1. Объяснение нового материала.

Вы хорошо знаете, что в отличие от обычной алгебры, изучающей мате­матические функции, алгебра логики изучает логиче­ские функции.

Функция — это закон соответствия между переменными, а ло­гическая функция — это закон соответствия между логическими переменными. Логическая переменная — это такая переменная, которая принимает два значения 0 («ложь», 1 («истина»).

Логические функции характеризуются (задаются) таблицами истинности.

Таблица истинности — это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.

Из математики известно, что любую логическую функцию можно записать с помощью трех операций: логического сложения, логического умножения и отрицания.

Одна и та же логическая функция может быть запи­сана различным образом. Например, функция может быть записана следующими эквивалентными выражениями:

Эквивалентность выражений легко проверяется составлением таблиц истинности этих двух выражений. Для исключения неравнозначности записи логические функции представляют в унифицированных формах. Такими формами являются: дизъюнктивная и конъюнктивная. В них используются элементарные дизъюнкции и конъюнк­ции.

Элементарной называется конъюнкция, в которую входят только переменные и их отрицания, например,

.

Элементарной называется дизъюнкция, предста­вляющая собой логическую сумму переменных и их отрицаний.

Например:

.

В элементарные конъюнкции (дизъюнкции) не могут входить одинаковые переменные, а также пере­менные с их отрицаниями. Такие дизъюнкции (конъ­юнкции) должны преобразовываться.

Понятия элементарной дизъ­юнкции и конъюнкции позволяют достаточно просто определить дизъюнктивную и конъюнктивную формы записи логических функций.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это форма, в которой логическая функция представляется в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций, на­пример:

.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называ­ется такая форма, в которой функция представляется в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций. Напри­мер:

.

Использование нормальных форм не устраняет полностью неоднозначности записи логических функ­ций.

Совершенные формы записи логических функций СДНФ СКНФ.

Среди нормальных форм выделяются такие, в ко­торых функции записываются единственным образом. Их называют совершенными. Применяются совершен­ная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нор­мальные формы (СДНФ и СКНФ). Формы СДНФ и СКНФ имеют две отличительные особенности:

1) все элементарные конъюнкции и дизъюнкций имеют одинаковый ранг, равный количеству переменных в конъюнкции (дизъюнкции);

2) в элементарные конъюнкции (дизъюнкции) вхо­дят все те переменные или их отрицания, от которых зависит функция.

Функция записана в СДНФ.

Функции в СДНФ и СКНФ обычно записываются по таблицам истинности с использованием определен­ных правил.

При построении ЭВМ используются компоненты, работа которых описывается функциями, представленными в дизъюнктивных формах. Поэтому будем рассматривать в дальнейшем только ДНФ и СДНФ.

Правило записи СДНФ функции по таблице истин­ности.

1) Для каждой строки таблицы истинности с единым значением функции надо построить минтерм. (минтермом называется терм, произведение, в котором каждая переменная встречается только 1 раз - либо с отрицанием, либо без него).

2) Переменные имеющие нулевое значение в строке, включить в минтерм с отрицанием, а переменные со значением 1 - без отрицания.

3) Необходимо объединить все минтермы операцией дизъюнкция, что даст стандартную сумму произведений для заданной таблицы истинности.

Например, логическая функция задана таблицей истинности, представленной в таблице. Для набо­ров 4, 6, 7, 8 записываем конъюнкции через пробел:

.

.

Для задания функции не обязательно всегда со­ставлять таблицу истинности. Можно указать, что функция равна единице, например, на наборах 4, 6, 7, 8 (011, 101,110, 111).

Аналогично строиться таблица по СКНФ, но в начале рассматриваются нулевые значения функции, по ним строятся элементарные дизъюнкции (нулям соответствуют переменные, единицам отрицания переменных), а затем они объединяются знаками конъюнкций.

Можно решать и обратную задачу: построение таблицы истинности по СДНФ или СКНФ.

1. По таблице истинности построить СДНФ и СКНФ.

Решение:

Для всех наборов переменных, на которых функ­ция принимает единичные значения» записать конъ­юнкции, инвертируя те переменные, которым соот­ветствуют нулевые значения. Затем конъюнкции со­единить знаками дизъюнкции.

Ответы.
1.а)

1.б)

Дома:

1 вариант

Построить таблицу истинности по СДНФ (проверьте правильность составления таблиц подстановкой значений в логическую функцию):

а) ; б) .

2 вариант

Построить таблицу истинности по СКНФ (проверьте правильность составления таблиц подстановкой значений в логическую функцию):
а) ; б) .

Итоги урока: Образование – украшение для счастливых,

убежище для несчастных. Для образования

нужны три вещи: природные способности,

упражнения и время.

Демокрит

Сегодня на уроке мы нашли время для выполнения упражнений и демонстрации всех ваших способностей и знаний по данной теме. Спасибо за работу.

8