Презентация к уроку "Вычисление неопределенных интегралов"

Г ПОУ СПО « Печорский промышленно-экономический техникум»

Вычисление неопределенных интегралов

Преподаватель: Тарасенко Е. В.

Эталон ответа к тесту:

Вариант 1

• 1. Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной .
• 2. Множество первообразных называют неопределенным интегралом и обозначают
• 3. Теорема. Если F(x) является первообразной функции на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+C .
• 4. Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию, если при этом получается подынтегральная функция , то интеграл найден верно.
• 5. Интегрирование - операция обратная дифференцированию .

Эталон ответа к тесту:

Вариант 2

Свойства неопределенного интеграла

№

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла

1

Формула

2

Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций

3

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

4

Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С

5

Эталон ответа к тесту:

Вариант № 3

Методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод подстановки (замены переменной)

Метод интегрирования по частям

Метод основан на применении основных свойств неопределенных интегралов и сведении их к табличным. При этом подынтегральную функцию предварительно преобразуют.

Метод основан на применении формулы

Метод основан на применении формулы интегрирования по частям:

При этом новой переменной заменяют такую часть функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения.

Примеры интегрирования методом подстановки

Примеры непосредственного интегрирования

Пример №1

Пример №4

Пример №5

Пример №2

Пример №6

Пример №3

Пример №7

Пример №2

Пример №2

Пример №1

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

Интеграл суммы выражений равен сумме интегралов этих выражений

Пример №3

Пример №4

Определяем, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл

Определяем, какую часть подынтегральной функции нужно заменить и записываем замену

Находим дифференциалы обеих частей, выражаем старый дифференциал через новый

Производим замену в интеграле и

вычисляем его, используя таблицу

Производим обратную замену, то есть

возвращаемся к старой переменной

Пример №5

Пример №6

Пример №7

Алгоритм вычисления интегралов методом непосредственного интегрирования

• Преобразуем подынтегральную функцию и представляем интеграл в виде суммы или разности интегралов.

2. Выносим постоянные множители за знаки интегралов.

3. Сводим полученные интегралы к табличным интегралам.

4. Вычисляем и записываем ответ.

Алгоритм вычисления интегралов методом замены переменной

• Определяем, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл.

2. Определяем, какую часть подынтегральной функции нужно заменить и записываем замену.

3. Вычисляем дифференциал новой переменной, выражаем старый дифференциал через новый.

• Производим замену и вычисляем полученный интеграл с помощью таблицы интегралов.

5. Возвращаемся к старой переменной и записываем ответ.

Найти неопределенный интеграл

Проверить решение

Проверить решение

Следует отметить, что для функции вида f(kx+b) можно применять упрощенную формулу

Применение интегралов к решению профессионально-направленных задач

Задача: В результате значительной потери крови содержание железа в крови уменьшилось на 210 мг. Скорость восстановления недостатка железа определяется соотношением , где - время в сутках. Определите закон восстановления недостатка железа.

Решение:

Постоянную С определяем, используя начальные условия:

Интеграл вычисляем методом замены переменной:

Закон восстановления недостатка железа имеет вид: