Practik rabot nomer 30

Практическая работа 30

Решение различных дифференциальных уравнений второго и

высшего порядка

Цель: закрепить навыки решения дифференциальных уравнений второго и высших порядков.

Пояснение к работе

Студент должен:

уметь:

• решать простейшие дифференциальные уравнения второго порядка;

знать:

• линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

Методические указания

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

1.Если дифференциальное уравнение имеет вид , то оно решается последовательным интегрированием.

2.Если в запись уравнения не входит функция y(x), т.е. оно имеет вид то такое уравнение можно решить, найдя вспомогательную функцию .

Пример: Решить уравнение .

Решение: Положим .

Исходное уравнение примет вид .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение

3.Если в запись уравнения не входит переменная x, т.е. оно имеет вид то такое уравнение можно решить, найдя вспомогательную функцию .

Пример: Решить уравнение .

Решение: Положим . Исходное уравнение примет вид .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение

Уравнение вида

Это уравнение не содержит в явном виде аргумент х, поэтому для его решения предлагается замена

т.е. z является функцией от у, а не от х.

Тогда

Итак,

Пример. Решить уравнение

Решение:

1)

линейное однородное уравнение

первого порядка, решение которого

2)

уравнение с разделяющимися переменными.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

где входят линейно, а и - числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема. Если и - линейно не зависимые решения

линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то

общее решение этого уравнения.

Для нахождения линейно независимых решений и уравнения надо записать по линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка характеристическое уравнение:

и решить его, т.е. найти корни и .

Возможны три случая решения однородного уравнения:

1. Корни и характеристического уравнения вещественные и различные ,т.е.

тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

2. Корни и характеристического уравнения вещественные и равные друг другу т.е. тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

3. Корни и характеристического уравнения комплексно–сопряжённые т.е. где тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Задания

Вариант 1

Решить дифференциальные уравнения:

1. , если ,

2.

3. , если ,

4.

5. Решить задачу Коши:

Вариант 2

Решить дифференциальные уравнения:

1. , если ,

2. , если ,

3.

4.

5. Решить задачу Коши:

Контрольные вопросы

1. Назовите общий вид дифференциальных уравнений второго порядка.

2. Как решается дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение степени?

3. Что такое обшее и частное решения дифференциального уравнения второго порядка?

4. Какие уравнения называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка?

5. Как составить характеристическое уравнение? Какие варианты решений дифференциального уравнения возможны?

Литература

1.Шипачев Виктор Семенович Высшая математика : учебник / В.С. Шипачев. - М. : ИНФРА-М, 2018. -479 с

2 Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учебник для студ. СПО. 8-е изд., стер. / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.