Практическая работа №41 «Решение систем тригонометрических уравнений»

Практическая работа №41 «Решение систем тригонометрических уравнений»

Цель работы: проверить, закрепить знания по рассматриваемой теме; продолжить развитие умения решать системы тригонометрических уравнений с применением тригонометрических формул.

Теоретические сведения к практической работе:

1. Простейшие системы уравнений: к ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.

Пример 1

Решим систему уравнений 

Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную   и подставим во второе уравнение:   Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение   или   Введем новую переменную t = sin у. Имеем квадратное уравнение 3t2 - 7t + 2 = 0, корни которого t1 = 1/3 и t2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1). Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y = 1/3, решение которого   Теперь легко найти неизвестную:   Итак, система уравнений имеет решения   где n ∈ Z.

  2. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных: если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.

Пример 2

Решим систему уравнений 

Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b = sin у. Получим систему алгебраических уравнений   Из первого уравнения выразим                      а = b + 3 и подставим во второе:   или   Корни этого квадратного уравнения b1 = 1 и   b2= -4. Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:

а)   ее решение   где n, k ∈ Z.

б)    решений не имеет, так как sin у ≥ -1.

 Задание для самостоятельного решения:

Контрольные вопросы:

1. Каковы особенности решения систем тригонометрических уравнений?

2. В чем заключается способ замены неизвесной?