Ранее мы уже определили понятия перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости; основания перпендикуляра; наклонной и ее проекции. Построим рисунок на плоскости, выделим знакомые элементы. Изобразим плоскость α в виде замкнутой кривой линии. Такой рисунок плоскости, как и любой другой, вполне допустим, так как плоскость не имеет границ. Проведем наклонную a. На рисунке она изображена в виде прямой, пересекающей плоскость в точке А. Условно закрытая плоскостью часть наклонной изображена пунктирной линией. Из любой точки М наклонной проведем перпендикуляр к плоскости α. Основание перпендикуляра обозначим точкой В. Назовем точку В проекцией точки М на плоскость . Определим вновь введенное понятие: «Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости». Соединим точку А (точку пересечения прямой и плоскости) и точку В (проекцию точки М на плоскость), Отрезок АВ является проекцией наклонной АМ на плоскость А, это мы определили ранее. Небольшая иллюстрация проекции прямой на плоскость при помощи луча дает понимание того, что проекцией прямой на плоскость является прямая. Но утверждать это можно только с помощью доказательства. Теорема: Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Используя известные математические термины, составим определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая пересекает плоскость перпендикулярно, ее проекцией будет точка пересечения этой прямой и плоскости. В таком случае величина угла между прямой и плоскостью считается равной 900. | а – наклонная, АВ – проекция наклонной ВМ – перпендикуляр из М на , В – основание перпендикуляра, В проекция М на . Определение: «Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости». Картинка Текст: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Картинка Текст АМВ–угол между а и Если прямая пересекает плоскость перпендикулярно, ее проекцией будет точка пересечения этой прямой и плоскости. В таком случае величина угла между прямой и плоскостью считается равной 900. |
Некоторые полезные выводы: - Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к плоскости, является прямая; - Проекцией отрезка на плоскость, не перпендикулярного к плоскости, является отрезок, концами которого являются проекции концов отрезка; - Проекцией прямой и отрезка на плоскость, перпендикулярных к плоскости является точка; - Угол между наклонной и плоскостью (между наклонной и ее проекцией) является наименьшим из всех углов, образованных этой наклонной с любой прямой принадлежащей плоскости; - Угол между перпендикуляром к плоскости и самой плоскостью Равен 900. -Если данная прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В таком случае угол между параллельными прямой и плоскостью считают равным 0. | Текст: выводы: - Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к плоскости, является прямая; - Проекцией отрезка на плоскость, не перпендикулярного к плоскости, является отрезок, концами которого являются проекции концов отрезка; - Проекцией прямой и отрезка на плоскость, перпендикулярных к плоскости является точка; - Угол между наклонной и плоскостью (между наклонной и ее проекцией) является наименьшим из всех углов, образованных этой наклонной с любой прямой принадлежащей плоскости; - Угол между перпендикуляром к плоскости и самой плоскостью Равен 900. |
-
Задача 1: Дан куб ABCDA1B1C1D1. Сторона АВ равна 1дм. Найдите величину угла между диагональю куба B1D и плоскостью ABC. Решение: Отрезок B1B – перпендикулярен плоскости ABC. Соединим основание перпендикуляра точку В и точку пересечения прямой B1D с плоскостью АВС, получим отрезок BD, проекцию наклонной B1D. Найти угол BDB1. Треугольник BB1D прямоугольный. Найдем тангенс угла BDB1. Он равен отношению B1B к BD. Все ребра куба равны, значит B1B=1, а BD2=В1В2+BD2= 12+12 (по теореме Пифагора) BD= . tgBDB1= . получили табличное значение тангенса угла, тогда, угол BDB1 равен 450. | Текст: Задача 1 Дан куб ABCDA1B1C1D1. Сторона АВ равна 1дм. Найдите величину угла между диагональю куба B1D и плоскостью ABC. Дано: ABCDA1B1C1D1,– куб, АВ = 1дм Найти: угол между B1D и ABC. Решение: ΔBB1D–прямоугольный, по определению куба. tg BDB1= , B1B=1, по т. Пифагора: BD2=12+12 BD= . tgBDB1= . Следует, BDB1=450. Ответ: угол между B1D и ABC равен 45º. |
В ЕГЭ эта тема представлена задачами подобного содержания: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37. Найдите длину отрезка BD. Решение: Отрезок OD – проекция наклонной SD на плоскость АВС равна половине отрезка ВD. Треугольник SOD прямоугольный. Применим теорему Пифагора: OD2+352=372; OD2=372-352; OD2=1369-1225=144; OD=12 12х2=24 Ответ: 24 | Текст: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37. Найдите длину отрезка BD. Дано: SABCD правильная пирамида, О– центр основания, SO=35, SD=37. Найдите: BD Решение: Отрезок OD – проекция наклонной SD на плоскость АВС равна половине отрезка ВD. ΔSOD–прямоугольный. по т. Пифагора: OD2+352=372; OD2=372-352; OD2=1369-1225=144; OD=12 12х2=24 Ответ: 24 |