Россия, Магнитогорск
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 15.05.2024 14:44
Даниловская Ольга Николаевна
Учитель математики
48 лет
6 014
6 826 
Местоположение
Практические задания по теме "Величины"
Категория:
Математика
06.03.2022 08:27
Просмотр содержимого документа
«Практические задания по теме "Величины"»
Ольга Николаевна Даниловская
учитель математики,
высшей квалификационной категории
МОУ «С(К)ОШИ № 4»
города Магнитогорска Челябинской области
Величины и их измерения
Одна из существенных особенностей окружающей нас действительности — беспрерывное и многообразное ее изменение. Меняется погода, возраст человека, изменяются условия жизни людей, животный и растительный мир. Чтобы дать научное обоснование этим процессам, нужно знать их определенные свойства, например такие, как время, масса, скорость. Все названные свойства — величины. Их вы изучали в школьных курсах математики, физики, химии, биологии.
Понятие величины и ее измерения
Длина, площадь, масса, скорость, стоимость — величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием. Величины — это особые свойства реальных объектов или явлений. Например, свойство предметов иметь протяженность называется длиной. Это же слово мы употребляем, когда говорим о протяженности конкретных объектов. Поэтому про длины конкретных объектов говорят, что это величины одного рода. Вообще однородные величины выражают одно и то же свойство объектов некоторого множества. Разнородные величины выражают различные свойства объектов. Так, длина и площадь — это разнородные величины.
Величины — длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств:
1. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Иными словами, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше» и для любых величин а и b справедливо одно и только одно из отношений: аb, a = b, ab.
Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника, масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных сторон прямоугольника равны.
2. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Другими словам любых двух величин а и b однозначно определяется величина а+ b, ее называют суммой величин а и b.
Например, если а — длина отрезка АВ, b — длина отрезка ВС, то длина отрезка АС есть сумма длин отрезков АВ и ВС.
3. Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Другими словами, для величины а и любого неотрицательного действительного числа х существует единственная величина b =х·а; величину b называют произведением величины а на число х.
Например, если длину а отрезка АВ умножить на х=2, то получим длину 2а нового отрезка АС.
4. Величины одного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с, что a = b+с.
Например, если а — длина отрезка АС, b — длина отрезка АВ, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков АС и АВ.
5. Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число: частным величин а и b называется такое неотрицательное действительное число х, что а = х· b Чаще это число х называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: а/ b=х
Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2.
Понятие измерения величины
Сравнивая величины непосредственно, мы можем установить их равенство или неравенство. Чтобы получить более точный результат сравнения, например узнать, на сколько масса одного тела больше массы другого, необходимо величины измерить. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величии: для длин он один, для площадей — другой, для масс — третий и т. д. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определенное численное значение при выбранной единице.
Вообще если дана величина а и выбрана единица величины е, то в результате измерения величины а находят такое действительное число х, что а = х· е. Это число х называют численным значением величины а при единице величины е.
Последнее предложение можно записать в символической форме: х = mе (а).
Согласно определению любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины.
Например, 7 кг=7· 1 кг, 12 см=12· 1 см, 3 ч=3· 1 ч.
Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить — 
ч в минутах. Так как ч= ·1 ч и 1 ч=60 мин, то ч = ·60 мин=( ·60) мин=25 мин.
Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объем, масса.
Кроме скалярных величин, в математике рассматривают еще векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только ее численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряженность электрического поля и, др.
В пашем курсе мы будем рассматривать только скалярные величины и причем такие, численные значения которых положительны, т. е. положительные скалярные величины.
Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.
1. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины е, то отношения между величинами а и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот:
а= b mе (а).= mе (b).
aó mе (а) е (b).
ab ó mе (а). mе (b).
Например, если массы двух тел таковы, что а=5 кг, 6 = 3 кг, то можно утверждать, что масса а больше массы b, поскольку 53.
2. Если величины а и & измерены при помощи единицы величины е, то, чтобы найти численное значение суммы а+b, достаточно сложить численные значения величин а и b:
a+b=cómе (а+b) =mе (а)+ mе (b).
Например, если а=15 кг, b=12 кг, то a+b= 15 кг + 12 кг =(15+12) кг = 27 кг.
3. Если величины а и b таковы, что b = х· а, где х — положительное действительное число, и величина а измерена при помощи единицы величины е, то, чтобы найти численное значение величины b при единице е, достаточно число х умножить на число mе(а).
b=х·а ó mе (b)=х·mе (а).
Например, если масса b в 3 раза больше массы а, т. е. b = З· а, и а=2 кг, то b = З· а = =3· (2 кг) = (3· 2) кг = 6 кг.
Упражнения по теме «Величины и их измерения»
1. Выразите:
1) в килограммах 3 кг 720 г; 2) в граммах 21 кг 540 г.
2. Сравните массы: 1) 
кг и 2 кг 140 г; 2) 750 г и 
кг.
3. Выразите: 1) в сантиметрах 8 см 79 мм; 2) в минутах 5 мин 12с; 3) в тоннах 125 кг 300 г.
4. Сравните величины:
1) 56 мин и 
ч; 2) 1,5 см и 
дм; 3) 
м и 
дм.
5. Моряки всех стран расстояние, пройденное кораблем, измеряют в милях. Одна миля равна 1 852 м. Выразите в километрах расстояние, равное 320 милям.
6. Длина прямоугольника 35 см, а его ширина 0,3 м. Найдите площадь прямоугольника в квадратных дециметрах.
7. Какова скорость вертолета, если за 180 с он пролетел 8730 м? Сколько километров пролетит этот вертолет за час?
8. Расстояние от дома до школы 400 м, а расстояние от дома до вокзала 0,9 км. Во сколько раз расстояние от дома до вокзала больше расстояния от дома до школы?
9. Известно, что расстояние от пункта А до пункта В равно 6 км, от В до С 8 км. Чему может быть расстояние от А до С?
10. Существуют ли три точки А, В, С, такие, что
1) АС=15 см, АВ=8 см, ВС=7 см;
2) АС=8 см, АВ=25 см, ВС=40 см;
3) АВ=24 см, АВ=30 см, ВС=40 см?
11. Решите задачи и объясните, какие операции над площадями были при этом выполнены:
1) Площадь прямоугольника в 3 раза больше площади квадрата. Длина прямоугольника 96 см. Чему равна ширина прямоугольника, если сторона квадрата 48 см?
2) Если длину прямоугольника увеличить на 2 дм, а ширину уменьшить на 5 дм, то получится квадрат, площадь которого будет меньше площади прямоугольника на 50 дм2. Определите площадь квадрата.
3) Общая площадь двух земельных участков прямоугольной формы равна 7,4 га. Длина первого участка равна 250 м, длина второго участка 150 м. Найдите площадь каждого участка, если ширина первого участка на 40 м больше второго участка.
12. В типографию привезли 12 т бумаги. В первый день израсходовали 3т, а во второй - третью часть остатка. Сколько бумаги израсходовали за два дня?
13. Купили 6 кг 500 г краски. На окраску окон пошла пятая часть всей краски, на окраску комнаты – в 2 раза больше, чем на окраску окон, а на кухню пошло на 800 г меньше, чем на окраску комнаты. Сколько краски осталось?
14. Машинистка должна была перепечатать рукопись за 8 дней. Однако она выполнила работу за 6 дней, так как печатала ежедневно на6 страниц больше, чем планировала ранее. Сколько страниц в рукописи?
15. Из села до ремонтной мастерской велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч. А возвращался со скоростью 15 км/ч, поэтому затратил на обратный путь на 18 мин меньше. Сколько километров от села до ремонтной мастерской?
Самостоятельная работа по теме
Перевод величин в другие единицы измерения
Вариант 1
1. Баскетбольная корзина устанавливается на щите на высоте 3,05 м. Выразите эту величину в дециметрах; сантиметрах; миллиметрах.
2. Выразите в метрах: а) 2,5 км; б) 37 дм; в) 208 см; 320 мм.
3. Выразите в килограммах: а) 3,3 т; б) 4,5 ц; в) 47,8 г; г) 5т 6ц26 кг200г.
4. Вычислите сумму, предварительно выразив слагаемые в указанных единицах измерения.
а) В миллиметрах: 5,653 м + 2,4 см + 0,5 км;
б) в граммах: 0,08 кг + 6 ц;
в) в тоннах: 123,8 кг + 0,04 кг + 8 кг + 238 г.
5. Сравните: а) 
т и 456 кг; б) 7 км 456 м и 7
км.
Самостоятельная работа по теме
Перевод величин в другие единицы измерения
Вариант 2
1. Высота футбольных ворот 24 400 мм. Сколько это составляет сантиметров; дециметров; метров?
2. Выразите в метрах: а) 8,2 км; б) 87 дм; в) 259 см; 403 мм.
3. Выразите в граммах: а) 50 кг; б) 4,52 т; в) 0,00285 ц; г) 2т 6ц7 кг700г.
4. Вычислите сумму, предварительно выразив слагаемые в указанных единицах измерения.
а) В сантиметрах: 95 м + 24,45 см + 78 мм;
б) в килограммах: 0,08 кг + 6 ц;
в) в центнерах: 87 ц + 749 г + 21 г + 8,3 кг.
5. Сравните: а) 
ц и 45кг; б) 8 т 456 г и 8
ц.
Источники:
1. Алгебра и начала анализа; Учеб. Для 10 - 11 кл. сред, шк./ А. Н. Колмагоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Под ред. А. Н. Колмагорова. - М.: Просвещение, 1990. - 320 с.: ил.
2. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10 - 11 кл. сред. шк./Щ, А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993. -254 с.: ил.
3. Геометрия: Учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк. /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - М.. Просвещение, 1994. - 207 с.: ил.
4. Геометрия. Учеб. для 7 - 9 кл, сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - М: Просвещение, 1990. - 336 с.: ил.
5. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1990. - 416.: ил.
6. Сборник задач по математике. Пособие для педучилищ. А. М. Пышкало, Л. П. Стойлова, Н. Н. Лаврова, Н. П. Ирошников. - М.; Просвещение, 1979.-208 с., ил.
© 2022, Даниловская Ольга Николаевна 909 10
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
