Практика по теме: "Взаимное расположение прямых в пространстве"

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).
В пространстве мы можем представить ситуацию, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема «Признак скрещивающихся прямых»

Е сли одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство
Рассмотрим прямую AB, лежащую в плоскости, и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB.

1. Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть, она совпадает с плоскостью α.
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.

Теорема доказана.

В пространстве прямые расположены следующим образом:
1. параллельные;

2. пересекающиеся;

3.скрещивающиеся.

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.

1. Через точку D можно провести прямую DE, параллельную AB.

2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α.
3. Так как прямая AB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.

 Теорема доказана.

Углы между прямыми

1. Если прямые параллельны, то угол между ними — 0 градусов.

2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют  величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол 90).

3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

Обрати внимание!

Провести соответственные прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую, параллельную другой из скрещивающихся прямых.

 Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут:

В озможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

• Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).

• Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).

• Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Практика

Задача 1: дан куб ABCDA1B1C1D1.

Найти угол между AB и B1D1.

Выберем точку B на прямой AB и проведём через B прямую BD параллельно B1D1. Угол между AB и BD — 45 градусов, так как ABCD — квадрат.

Соответственно, угол между AB и B1D1 — тоже 45.

Задача 2:

Ответ:

Задача 3:

Ответ: 90.

Ответ: 90.

Ответ: 45.

Ответ:

Ответ: 60.

Ответ: 45.

Ответ: 60.