Практикум по решению стереометрических задач.Конус.Подготовка к ЕГЭ

Практикум по решению

стереометрических задач

Конус

в заданиях ЕГЭ

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Задача №6

Задача №7

Задача № 8

Задача № 9

Задача № 10

Задача № 11

Задача № 12

Задача № 13

Задача № 14

Задача № 22

Задача № 23

Задача № 24

Задача № 25

Задача № 26

Задача № 27

Задача № 28

Задача № 29

Задача № 30

Задача № 31

Задача № 32

Задача № 15

Задача № 16

Задача № 17

Задача № 18

Задача № 19

Задача № 20

Задача № 21

• Задачи для самостоятельного решения

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 9, а второго — 6 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Решение.

Т.к. площадь боковой поверхности конуса: S= π rl ,

значит S 1 = π ·3·9= 27 π , S 2 = π ·6·9= 54 π , тогда S 2 : S 1 = 54 π : 27 π = 2

Объём конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

решениеР

Решение: Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия. Высоты конусов относятся как 1:3,поэтому их объемы относятся как 1:27. Следовательно, объем отсекаемого конуса равен 135 : 33 = 5.

Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью .

Решение.

Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия  k .

Так как высоты конусов относятся как 1:2, то k  равно одной второй, а значит объем отсекаемого конуса будет равен

32 : 2 ³ = 4.

R²= 150 π : 6 π = 25 ,тогда R = 5 " width="640"

Объём конуса равен 50 π  а его высота равна 6 . Найдите радиус основания конуса .

Решение.

Найдём радиус основания конуса по формуле: V=1/3· π R²h .

Откуда R²=3V: π h = R²= 150 π : 6 π = 25 ,тогда R = 5

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

Решение.

Объем конуса вычисляется по формуле V=1/3·Soc.·h .

Значит, если высоту увеличить в 3 раза, то и объём увеличится в 3 раза

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

Решение.

Объем конуса вычисляется по формуле

V=1/3·Soc.·h = 1/3 · π R²·h .

Значит, если радиус основания увеличить в 1,5 раза, то и объём конуса увеличится в 2,25 раза

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

Решение.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле

S= π R·L, где L -образующая .

Значит если увеличить L в 3 раза , то площадь боковой поверхности конуса тоже увеличится

в 3 раза . 

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?

Решение.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле

S= π R·L . Значит, если радиус основания уменьшится в 1,5 раза, то площадь боковой поверхности конуса тоже уменьшится в 1,5 раза.

Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.

По теореме Пифагора

Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

Решение.

По теореме Пифагора… .

Ответ: 6.

Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса.

По теореме Пифагора….

Ответ: 4.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2  высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение .

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подоб­ных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. Следовательно, необходимо долить 560 − 70 = 490 мл жидкости.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2  высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах .

Пусть  х -  высота налитой жидкости,  у - радиус окружности в основании конуса. Тогда 2 х  — высота сосуда, 2 у — радиус окружности в основании сосуда (так как поверхность жидкости отсекает от конического сосуда конус подобный данному).

Найдем отношения объёмов конусов

Таким образом, объём сосуда в 8 раз больше объёма налитой жидкости: 1600 : 8 = 200  

" width="640"

Объём конуса равен 96π, а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса.

Решение .Найдём радиус основания конуса из формулы: V=1/3· π R²h

Откуда R²=3V: π h =

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

1)Найдём площадь боковой поверхности первого конуса: S 1 = π ·R 1 ·L1 = π ·2·4=8 π

2) Найдём площадь боковой поверхности второго конуса: S 2 = π ·R 2 ·L 2 = π · 6 · 8 = 4 8 π

3) Найдём отношение площадей этих конусов:

S 2 : S 1 = 48 π : 8 π = 6

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3√2.  Найдите площадь боковой поверхности конуса.

π R² =1,5√2 2) Площадь боковой поверхности конуса равна  S= π R·L, Но L² = R²+h², но R=h = L² = 2 R² = L = R√2. Значит S б.п. = π R·L = π R· R√2 = π R²·√ 2 = = 1,5√2 ·√ 2 = 3 " width="640"

1) Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту и равные радиусы основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S б.п. = 2 π R·h, но R=h следовательно S б.п. = 2 π R² и =3√2 = π R² =1,5√2

2) Площадь боковой поверхности конуса равна  S= π R·L, Но L² = R²+h², но R=h = L² = 2 R² = L = R√2.

Значит S б.п. = π R·L = π R· R√2 = π R²·√ 2 =

= 1,5√2 ·√ 2 = 3

h = √100-36=√64=8 Следовательно, площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 =  48 . " width="640"

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Решение .

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого —это диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса.

Но L² = R²+h² = h = √100-36=√64=8

Следовательно, площадь осевого сечения

равна 0,5 · 12 · 8 =  48 .

R=√100-64=√36=6 Следовательно, диаметр осевого сечения конуса равен 12, а площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 =  48. " width="640"

Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Решение .

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса.

Но L² = R²+h² = R=√100-64=√36=6

Следовательно, диаметр осевого сечения конуса равен 12, а площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 =  48.

  Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью

Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 2.

Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Решение . Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, высота которого совпадает с высотой конуса, а основание является диаметром основания конуса. Поэтому площадь осевого сечения равна половине произведения высоты конуса на диаметр его основания или произведению высоты конуса на радиус основания  R . Поскольку по условию π R²=16 π , то радиус основания конуса равен 4, а тогда искомая площадь осевого сечения равна 24 .

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2.   Найдите образующую конуса.

Решение .

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса .

Решение.

Формулу для объёма шара:

V=4/3 · π R³ ,

а формула объёма конуса:

V=1/3 · π R³.

Значит объём конуса в 4 раза меньше объёма шара.

Тогда объём конуса равен 28 : 4 = 7

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, образующей и радиусом основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла 30°. Следовательно, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на  π .

Решение.

Найдем образующую по теореме Пифагора:

L=√h²+R²=√16+9=√25=5

Площадь полной поверхности конуса

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение .

Площадь боковой поверхности конуса равна

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на  π .

Решение .

Треугольник  АВС – так же равнобедренный, т.к. углы при основании АВ равны 45 ° . Тогда радиус основания равен 6, и объем конуса, деленный на  π :

Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Решение.

В треугольнике, образованном радиусом основания  r , высотой  h  и образующей конуса  l , углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания:  h  =  r . Тогда объем конуса, деленный на вычисляется следующим образом:

Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 ° . В ответе укажите V/ π .

30 °

Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в  30 °- она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса.

Радиус по теореме Пифагора: R=√2²-1=√3

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π .

Решение.

Радиус основания конуса  r    равен половине

диагонали квадрата ABCD :

r=√2/2·AB=2√2  

Тогда объем конуса, деленный на  π  :

Найдите объем  V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите  V/ π .

Решение .

Объем данной части конуса равен

Найдите объем  V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите  V/ π .

Решение.

Объем данной части конуса равен

Найдите объем  V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите  V/ π .

Решение.

Объем данной части конуса равен

Найдите объем  V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите  V/ π .

Решение .

Объем данной части конуса равен

Задачи

для самостоятельного решения

1) Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Ответ:1

2) Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Ответ:2

3) Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса .

1) Объём конуса равен  9 π , а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса.

Ответ:3

2) Объём конуса равен  25 π , а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса.

Ответ:5

1) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 18,5 раза?

2) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 24 раза?

3) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 10 раз?

1) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 40 раз?

2) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 22 раза?

3) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 31 раз?

1) Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз?

2) Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 11 раз?

3) Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 1,5 раза?

1) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 8 раз, а образующая останется прежней?

2) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 36 раз, а образующая останется прежней?

3) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 21 раз, а образующая останется прежней?

1) Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса.

Ответ: 17

2) Высота конуса равна 5, а диаметр основания — 24. Найдите образующую конуса.

Ответ: 13

3) Высота конуса равна 6, а диаметр основания — 16. Найдите образующую конуса.

Ответ: 10

1) Высота конуса равна 72, а длина образующей — 90. Найдите диаметр основания конуса.

Ответ:108

2) Высота конуса равна 21, а длина образующей — 75. Найдите диаметр основания конуса.

3) Высота конуса равна 57, а длина образующей — 95. Найдите диаметр основания конуса.

1) Диаметр основания конуса равен 108, а длина образующей — 90. Найдите высоту конуса.

Ответ: 72

2) Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей — 75. Найдите высоту конуса.

Ответ: 72

3) Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей — 13. Найдите высоту конуса.

Ответ: 5

1) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3  высоты. Объём жидкости равен 14 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Ответ: 364

• В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2  высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
• Ответ: 280

3) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/4  высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ:

Площадь основания конуса равна 36π, высота —10. Найдите площадь осевого сечения конуса. Ответ:60

1) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса.

2) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 160. Найдите объем конуса.

3) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 132. Найдите объем конуса.

1) Радиус основания конуса равен 12 , высота равна 16 . Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на  π .

2) Радиус основания конуса равен 28 , высота равна 21 . Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на  π .

3) Радиус основания конуса равен 15 , высота равна 36 . Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на  π .

1) Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Ответ: 6

2) Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3) Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса .

1) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 15. Найдите его объем, деленный на  π .

2) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 120. Найдите его объем, деленный на  π .

3) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 60. Найдите его объем, деленный на  π .

1) Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

2) Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

3) Диаметр основания конуса равен 36, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

1) Найдите объем конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30 ° . В ответе укажите V/ π .

Ответ: 10 648

2) Найдите объем конуса, образующая которого равна 51 и наклонена к плоскости основания под углом 30 ° .

В ответе укажите V/ π .

3) Найдите объем конуса, образующая которого равна 34 и наклонена к плоскости основания под углом 30 ° . В ответе укажите V/ π .

1) Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 13. Найдите его объем, деленный на π .

Ответ:19,5

2) Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 8 и высотой 12 . Найдите его объем, деленный на π .

3) Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 9 . Найдите его объем, деленный на π .

1) Найдите объем  V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите  V/ π .

Найдите объем  V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите  V/ π .

Найдите объем  V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите  V/ π .

Найдите объем  V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите  V/ π .