Правила диференціювання: похідна суми; добутку і частки функцій. Рівняння дотичної до графіка функції

Теорема. Якщо функція у = f(x) диференційована у точці х₀, то вона неперервна у цій точці.

Правила диференціювання

1) Сталий множник можна виносити за знак похідної.

(с u(x))’ = cu’(x), (с – стала, тобто число)

Приклад:

1. у = 5х;

.

1. y = 3x²;

.

2) Похідна суми (різниці) функцій, які диференціюються, дорівнює сумі (різниці) їхніх похідних.

Приклад:

у = 8х² + 5х – 4.

.

3) Похідна добутку двох функцій, які диференціюються, дорівнює похідній першої функції помноженій на другу функцію плюс похідна другої функції помножена на першу функцію.

Приклад:

у = х²(x³ – 5).

= 5x⁴ – 10x.

4) Похідна частки двох функцій, які диференціюються, дорівнює дробу в чисельнику, якого похідна першої функції помножена на другу функцію мінус похідна другої функції помножена на першу функцію, а в знаменнику квадрат другої функції.

Приклад:

Рівняння дотичної до графіка функції

Загальний вигляд рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у = f(x)

у точці дотику (х₀; у₀)

Щоб записати рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсциссою х₀ треба:

1) Знайти загальний вигляд похідної.

2) Знайти значеня похідної в точці х₀.

3) Знайти значення функції в точці х₀.

4) Підставити отримані числа, тобто f'(x₀); x₀; f(x₀) у рівняння дотичної.

5) Розкрити дужки, звести подібні.

6) Записати отримане рівняння дотичної у вигляді лінійної функції.

№1485 Написати рівняння дотичної до графіка даної функції в його точці з абсциссою х₀.

а)у = х² – 2х ; x₀ = 3.

;

або

- рівняння дотичної

у = 4(х – 3) + 3 = 4х – 12 + 3 = 4х – 9.

Відповідь: у = 4х – 9.