Правильные многогранники - презентация для открытого урока

Правильные многогранники

Гуторова С.Ф.

Определение

Многогранник называется  правильным , если:

• он выпуклый;
• все его грани являются равными  правильными многоугольниками ;
• в каждой его  вершине  сходится одинаковое число рёбер.

Немного истории

• Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на  резных каменных шарах , созданных в период позднего  неолита , в  Шотландии , как минимум за 1000 лет до  Платона . В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
• В XVI веке немецкий астроном  Иоганн Кеплер  пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами  Солнечной системы  (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге « Тайна мира », опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер.

Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет ( Меркурию ,  Венере ,  Земле ,  Марсу ,  Юпитеру  и  Сатурну ). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики —  законов Кеплера , — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников ( тел Кеплера — Пуансо ).

Тетраэдр

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания  уголковых отражателей ,  катафотов .
• Граф  четверичного  триггера  представляет собой тетраэдр

Октаэдр

Октаэдр в природе

• Многие природные  кубические   кристаллы  имеют форму октаэдра. Это  алмаз ,  хлорид натрия ,  перовскит ,  оливин ,  флюорит ,  шпинель .
• Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов ( никеле ,  меди ,  магнии ,  титане ,  лантане  и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия,  сфалерит ,  вюрцит  и др.).

Икосаэдр

История

• Евклид  в предложении 16 книги XIII « Начал » занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух  параллельных плоскостях  — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины [2][3] :127-131 .  Папп Александрийский  в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную  сферу , попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырех параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника

В мире

• Икосаэдр лучше всего из всех  правильных многогранников  подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения [6] . Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
• Икосаэдр применяется как  игральная кость  в  настольных ролевых играх , и обозначается при этом d20 (dice — кости).

Тела в виде икосаэдра

• Капсиды  многих  вирусов  (например,  бактериофаги ,  мимивирус ).

Додекаэдр

История

• Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной  Италии , около  Падуи , в конце XIX века, он датируется 500 г. до н.э. и предположительно использовался  этрусками  в качестве  игральной кости .
• Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях  древнегреческие  учёные.  Платон  сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии . О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца» [4] .  Евклид в предложении 17 книги XIII « Начал » строит додекаэдр на рёбрах куба.  Папп Александрийский  в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в  параллельных плоскостях
• На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых  римскими додекаэдрами , относящихся ко II—III вв. н.э., назначение которых не совсем понятно.

Интересные факты

• Форму, близкую к додекаэдру имеет описанная  Эрнстом Геккелем  в  1887 году   радиолярия   Circorrhegma dodecahedra .
• В  2003 году , при анализе данных космического аппарата  WMAP , была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой  додекаэдрическое пространство Пуанкаре