Презентация 1 урок неравенства 8 класс

Повторение

А теперь изобразите на координатной прямой промежутки, удовлетворяющие следующим неравенствам:

• x 5

Ответ

Ответ

• x -3

Ответ

• x 6,3

немного из истории

О знаках

( символах ) :

равенства

неравенства

В 1557 г. Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства ( = ), он мотивировал свое нововведение следующим образом:

ОДНАКО!

«Никакие два предмета

не могут быть между собой более равными,

чем два параллельных отрезка»

Знак равенства Рекорда

стал общеупотребительным

лишь в XVIII в ., после того

как им стали пользоваться Лейбниц

и его последователи.

,А само понятие неравенства , как и понятие равенства, возникло еще в глубокой древности. " width="640"

О понятии

неравенства

В 1631 г. английским математиком

Томасом Гарриотом в

«Практике аналитического искусства»

впервые появились знаки неравенства ( ,

А само понятие неравенства ,

как и понятие равенства,

возникло еще в глубокой древности.

,соединенные со знаком равенства (=) : (не меньше) или (не больше). Такие неравенства называются нестрогими, в отличие от неравенств (больше) или называемых строгими. Эти символы были введены в 1734 г . французским математиком Пьером Буге ( P . Bouguer ). " width="640"

Строгие и нестрогие

неравенства

В теории и в практических задачах

встречаются знаки неравенства ( ,

соединенные со знаком равенства (=) :

(не меньше) или (не больше).

Такие неравенства называются нестрогими,

в отличие от неравенств

(больше) или

называемых строгими.

Эти символы

были введены в 1734 г .

французским математиком

Пьером Буге ( P . Bouguer ).

Знаки неравенства ( )

были предложены через 74 года после

предложенного Рекордом знака равенства.

Одна из причин

коренится в том, что типографии применяли

для знаков неравенства ( ) уже

имевшуюся у них латинскую букву V .

А знака равенства ( = ) у

них не было, т.к. изготовлять его тогда было нелегко.

3 . При одних значениях переменной х это неравенство обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. 5× 4 -113 9 3 Получили верное неравенство. Например, пусть х=4 , тогда А если х=2 , то 5× 2 -113 -1 3 Говорят, что число 4 является решением неравенства 5x-113 или удовлетворяет этому неравенству. Получили неверное неравенство. " width="640"

Новая тема

Рассмотрим неравенство 5x-113 .

При одних значениях переменной х

это неравенство обращается в верное числовое

неравенство, а при других нет.

5× 4 -113

9 3

Получили верное неравенство.

Например, пусть х=4 , тогда

А если х=2 , то

5× 2 -113

-1 3

Говорят, что число 4 является решением

неравенства 5x-113 или

удовлетворяет этому неравенству.

Получили неверное неравенство.

Новая тема

Итак, решением неравенства с одним неизвестным называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

А решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Новая тема

При решении неравенств используются следующие основные свойства :

1) Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого члена на противоположный; при этом знак неравенства не меняется.

2) Обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.

-2/3 Ответ: х -2/3 " width="640"

Новая тема

Например, решим неравенство 3(х-2)-4(х+1) х -3) -2

• упростим левую и правую части неравенства, т.е. раскроем скобки:

• перенесем члены, содержащие неизвестное в левую часть, а члены, не содержащие неизвестное, в правую ( по свойству 1 ):

3х-6-4х-4

• приведем подобные члены:

• и разделим обе части на -3 (по свойству 2)

3х-4х- 2x

-3х 2

х -2/3

Ответ: х -2/3

-2/3 состоит из всех чисел, больших -2/3 . Это множество представляет собой числовой промежуток: -2/3 Получился промежуток (-2/3;+  ), т.е. все числа, входящие в данный промежуток будут являться решениями данного неравенства. Ответ: (-2/3;+  ) " width="640"

Новая тема

Множество всех решений неравенства х -2/3 состоит из всех чисел, больших -2/3 . Это множество представляет собой числовой промежуток:

-2/3

Получился промежуток (-2/3;+  ), т.е. все числа, входящие в данный промежуток будут являться решениями данного неравенства.

Ответ: (-2/3;+  )

Закрепление

Порешаем вместе:

• Решить неравенство:

3(х+1)  х+5

3х+3  х+5

3х-х  5-3

2х  2

х  1

1

Ответ: (-  ;1 ]

3-(1-2х) 2х+2+5 3-1+2x 2х -2x3-1-2-5 0x-5 Последнее неравенство является верным при любом значении х , т.к. его левая часть при любом х равна нулю, а 0 -5 . Следовательно любое значение х является решением данного неравенства. Ответ: х – любое число. " width="640"

Закрепление

Порешаем вместе:

• Решить неравенство: 2( х+1 ) +5 3-(1-2х)

2х+2+5 3-1+2x

2х -2x3-1-2-5

0x-5

Последнее неравенство является верным при любом значении х , т.к. его левая часть при любом х равна нулю, а 0 -5 . Следовательно любое значение х является решением данного неравенства.

Ответ: х – любое число.

5-3х 6-3х-2 5-3х 3х-3х 5-6+2 0х 1 Последнее неравенство не имеет решений, т.к. левая часть неравенства при любом значении х равна нулю, а неравенство 0 1 неверно. Следовательно исходное неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет. " width="640"

Закрепление

Порешаем вместе:

• Решить неравенство: 3(2-х)-2 5-3х

6-3х-2 5-3х

3х-3х 5-6+2

0х 1

Последнее неравенство не имеет решений, т.к. левая часть неравенства при любом значении х равна нулю, а неравенство 0 1 неверно. Следовательно исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3( х-2 ) Ответ: (3;+  ). Решить неравенство: 5(х+2)-х ≥ 3(х-1)+х Ответ: х- любое число. Решить неравенство: (х+1)(х-4)+4 ≥ (х+2)(х-3)-х Ответ: (-  ; 6 ] . " width="640"

Закрепление

Попробуйте решить сами:

• Решить неравенство: 4х-9 3( х-2 )

Ответ: (3;+  ).

• Решить неравенство: 5(х+2)-х ≥ 3(х-1)+х

Ответ: х- любое число.

• Решить неравенство:

(х+1)(х-4)+4 ≥ (х+2)(х-3)-х

Ответ: (-  ; 6 ] .

Закрепление

А теперь повторим изученный материал:

• Решить неравенство:

6х+1 ≥ 2(х-1)-3х

Решение

• Выяснить, при каких значениях х выражение принимает положительные значения:

2(х+3)+3х

Решение

Ссылки на ответы и решения

2,3 a По свойству 1: Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство. " width="640"

Ответ:

• 2,3 b 2,3 a

По свойству 1:

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство.

-28 b По свойству 2: Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и поменять знак на противоположный, то получится верное неравенство. " width="640"

Ответ:

• -28 a -28 b

По свойству 2:

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и поменять знак на противоположный, то получится верное неравенство.

1/3 b По свойству 1: Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство. " width="640"

Ответ:

• 1/3 a 1/3 b

По свойству 1:

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство.

Ответ:

• x  5

5

промежуток (-  ;5 ]

-3 -3 промежуток (- 3 ;+  ) " width="640"

Ответ:

• x -3

-3

промежуток (- 3 ;+  )

Ответ:

• x ≥ 6,3

6,3

промежуток [6 , 3 ;+  )

Решение:

6х+1 ≥ 2(х-1)-3х

6х+1 ≥ 2х-2-3х

6х-2х-3х ≥ -2-1

х ≥ -3

-3

Ответ: [-3 ;+  )

0 2 х+6+4х 0 6х -6 х -1 -1 Ответ: при х -1 выражение принимает положительные значения. " width="640"

Решение:

2(х+3)+4х 0

2 х+6+4х 0

6х -6

х -1

-1

Ответ: при х -1 выражение принимает положительные значения.

Свойство 1

• Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого члена на противоположный; при этом знак неравенства не меняется.

Свойство 2

• Обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.