Презентация Арифметическая и геометрическая прогрессии

Доброго творческого дня!

«О, сколько нам открытий чудных … Готовит просвещенья дух, И опыт – сын ошибок трудных, И гений – парадоксов друг» А.С.Пушкин

01.02.2019

Определение арифметической и геометрической прогрессии. Формула n -го члена арифметической и геометрической прогрессии.

«Все познается в сравнении»

Исторические заметки

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперёд») и был введён римским автором Боэцием (VI в.), и понимался

как бесконечная числовая последовательность.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

Папирус Ахмеса (Ринда) был обнаружен в 1858. В 1870 до н. э. папирус был расшифрован, переведён и издан. Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней.

Одна из задач папируса сводится к нахождению суммы членов геометрической прогрессии.

Архимед, (Archimedes;

около 287 - 212 до н. э.),

древнегреческий учёный,

математик и механик.

В ходе своих исследований он нашёл сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1 / 4 , что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда.

Первым самостоятельным математиком Западной Европы был итальянец Леонардо Пизанский (1180—1240), известный также под именем Фибоначчи. Основной труд Леонардо — «Книга абака» — написан им в 1202 г. и переработан в 1228 г.

В XII главе приводятся задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий.

У нас в России задачи на прогрессии впервые встречаются в одном из древнейших памятников русского права – в «Русской правде», составленном при Ярославе Мудром в XI веке.

Значительное количество задач на прогрессии имеется в замечательном памятнике начала XVIII века – «Арифметике» Л.Ф.Магницкого.

В течение полувека

эта книга была основным

учебником в России.

Найдите закономерности

Устная работа

Арифметическая прогрессия

1) 1, 3, 5, 7, 9, …

d = 2

2) 5, 8, 11, 14, …

d = 3

3) -1, -2, -3, -4, …

d = -1

4) -2, -4, -6, -8, …

d = - 2

Геометрическая прогрессия

1) 1, 2, 4, 8, …

q = 2

2) 5, 15, 45, 135, …

q = 3

3) 1; 0,1; 0,001;0,0001;

q = 0,1

4) 1, 2/3, 4/9, 8/27, …

q = 2/3

d - разность

q -знаменатель

Определение

Арифметической Геометрической

прогрессией

а 1 ,а 2 ,а 3 ,…а n ,.. b 1 ,b 2 ,b 3 ,…b n ,…

называется последовательность,

отличных от нуля чисел

каждый член которой, начиная со второго,

равен предыдущему члену,

сложенному с одним

и тем же числом.

умноженному на одно

и то же число.

a n+1 = a n + d

b n+1 = b n * q

Составьте прогрессию:

• Ежедневно каждый болеющий гриппом

может заразить четырех окружающих.

1; 4; 16; 64;…

• Дима на перемене съел булочку. Во время еды в
• кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через
• каждые 20 минут происходит деление бактерий (они
• удваиваются).

30; 60; 120; 240;…

• Каждый курильщик выкуривает в среднем

8 сигарет в сутки. После выкуривания одной

сигареты в легких оседает 0,0002 грамма

никотина и табачного дегтя. С каждой

последующей сигаретой это количество

увеличивается в два раза.

0,0002; 0,0004; 0,0008;…

Психологическая разгрузка

Формула n -го члена прогрессии

• Пусть заданы а 1 и d

а 2 =а 1 + d

a 3 =a 2 +d=a 1 +d+d= а 1 + 2d

a 4 =a 3 +d= а 1 + 3d

…………………………… ..

a n =a 1 +(n-1)d

• Пусть заданы b 1 и q

b 2 = b 1 *q

b 3 = b 2 *q= b 1 *q*q=b 1 *q 2

b 4 =b 1 *q 3

…………………………………………… .. b n = b 1 * q n-1

Чтобы задать

арифметическую геометрическую

прогрессию, достаточно указать её

первый член и первый член и

разность знаменатель

Решить задачу:

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут ?

Рассмотрим промежутки времени: 15 мин; 25 мин; 35 мин ; …

Дано : (a n ) ; a 1 =15; d=10; a n =105 Найти : n

Решение

a n = a 1 +d(n-1)

105 = 15+10(n-1)

105 = 15+10n-10

10n = 100

n = 10

Ответ: потребуется 10 дней

Проверочный диктант

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

За верно решенные 5 заданий – «5»,

за 4 – «4» , за 3 – «3» , менее 3 – «2»

Рефлексия результативности

Какие умения и навыки приобрели?

Что нового узнали

сегодня на уроке?

С пользой ли для вас прошел урок?

Что осталось непонятным?

Домашнее задание

• № 584, 585(а, б), 632
• Задачи арифметическая и геометрическая прогрессия в жизни и быту

Подготовка к ГИА

Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что

одна из этих последовательностей

не является ни геометрической, ни арифметической прогрессией.

Укажите её.

А. 1; 2; 3;…

Б. 1; 2; 4;…

В. 1; 4; 16;…

Г. 1; 4; 9;…

Подготовка к ГИА

Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что

одна из этих последовательностей

не является геометрической

прогрессией. Укажите её.

А. -3; 1; ;…

Б. -3; -9; -27;…

В. -3; 5; -7;…

Г. -3; ; -1;…

Подготовка к ГИА

• Последовательности ( a n ) , ( b n ), ( c n )

заданы формулами n -го члена.

Поставьте в соответствие каждой

последовательности верное утверждение.

ФОРМУЛА

А)

УТВЕРЖДЕНИЕ

• Последовательность –

арифметическая прогрессия

2) Последовательность –

геометрическая прогрессия

3) Последовательность не

является ни арифметической,

ни геометрической прогрессией

Б)

В)

А

2

Б

В

1

3