Презентация к теме урока: Комбинаторика. Комбинаторные конструкции

КОМБИНАТОРИКА

Т

ИИ

4=с

4=ц

КОНСТРУКЦИИ

ТЕМА УРОКА:

Комбинаторика. Комбинаторные конструкции

Цели:

• повторить основные понятия комбинаторики;
• отработка навыков решения комбинаторных задач с использованием формул перестановок, размещений, сочетаний.

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачи, в которых идёт речь о тех или иных комбинациях, называются -

КОМБИНАТОРНЫМИ

ЗАДАЧАМИ

Основные элементы комбинаторики

• Факториал

Факториал.

Факториал – это произведение всех натуральных чисел

от 1 до n . Обозначение n!

Вопрос :

Где встречаются комбинаторные задачи в реальной жизни?

Комбинаторные задачи в реальной жизни встречаются:

• учебные заведения (составление расписаний);

• сфера общественного питания (составление меню);

• лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв).

• география (раскраска карт);

• спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками);

• производство (распределение нескольких видов работ между рабочими);

• агротехника (размещение посевов на нескольких полях);

• азартные игры (подсчёт частоты выигрышей);

• химия (анализ возможных связей между химическими элементами);

• биология (расшифровка кода ДНК);

• военное дело (расположение подразделений);

• астрология (анализ расположения планет и созвездий);

• экономика (анализ вариантов купли-продажи акций);

• криптография (разработка методов шифрования);

• доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки).

Основные элементы комбинаторики

Перестановки

Размещения

Сочетания

Перестановки.

Перестановкой называется множество, в котором установлен

порядок элементов.

Число перестановок из n элементов

вычисляется по формуле:

P n = n!

Читается: «P из n» равно «n факториал»

По определению: 0! = 1 и 1! = 1

Задача №: 1

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный.

Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Решение:

P 3 = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6

Ответ: 6

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объекты. Например, дружная семья.

Задача №: 2

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Р 5 =5!=1*2*3*4*5=120 способами

Ответ: 120 способами

Устный счет

• Выбрать правильный ответ:

Вычислить:

Задача №3

Сколько существует анаграмм для слова КАТЕР ?

Решение:

P 5 = 5!=5∙4∙3∙2∙1=120

Ответ: 120

Задача №4

«10 выпускников пришли в кафе отпраздновать окончание школы, но не могли решить, как сесть, т.е. в каком порядке. На выручку пришёл официант, который предложил сесть сегодня, как придётся, а на другой день сесть по - другому и так до тех пор, пока не наступит такой день, когда они сядут как в первый раз. Тогда их официант обещал угостить бесплатным обедом. Как вы думаете, долго ли друзьям ждать бесплатного обеда?»

Решение:

10! = 3 628 800

Учитывая, что в году 365 дней, то это почти 9942 года.

Ответ: около 10 000 лет.

Формула размещения

Читается : «A из n по m»

Задача № 5

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 и 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение:

Ответ: 24

Задача №6

Сколько имеется слов длиной 3 с неповторяющимися буквами в алфавите из 6 букв ?

Решение:

Ответ: 120

Задача №7

Студенты 1 курса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Решение:

Ответ: 5040

Формула сочетания

Читается : «С из n по m»

Задача № 8

Имеется 5 цветков разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, e. Требуется составить букет из трех цветков.

Решение:

Ответ: 10

Задача №9

В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение:

Ответ: 56

Задача № 10

Из 18-ти студентов группы надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение:

Ответ: 153

Комбинаторные конструкции

Перестановки

Размещения

n элементов

Сочетания

n клеток

n элементов

Порядок имеет значение

k клеток

Порядок имеет значение

n элементов

k клеток

Порядок не имеет значения

Ребусы

Ответы

Ребус №1.-«Комбинаторика»

Ребус №2.-«Выборка»

Ребус №3.-«События»

Ребус №4.-«Достоверное»

Ребус №5.-«Невозможное»

Ребус №6.-«Случайные»

Ребус №7.-«Совокупность»

Ребус №8.-«Противоположные»

Ребус №9.-«Равновозможное»

Ребус №10.-«Совместное»

Вычислите :

56

24

№ 1

№ 3

Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

В группе 7 студентов успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в олимпиаде по предмету?

№ 2

№ 4

Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Ответы:

№ 1

№ 3

№ 2

№ 4

Ответы:

• № 1 а) 2; б) 24; в) 720; г) 40320
• № 2 а) 504; б) 42840; в) 1680; г) 30
• № 3 а) 20; б) 21; в) 561; г) 4845

Домашняя работа

Задания на карточках

Подведем итоги

Повторили:

• основные понятия комбинаторики; формулы для нахождения простейших комбинаций (перестановок, размещений и сочетаний).

Научились:

• вычислять количество перестановок, размещений и сочетаний;
• решать простейшие комбинаторные задачи.

Рефлексия

• Сегодня я узнал(а) .......
• Было трудно…
• Я понял(а), что…
• Я научился(ась)…
• Я смог(ла)…
• Было интересно узнать, что…
• Меня удивило…
• Мне захотелось…

Выберите смайлик, который соответствует Вашему настроению в конце урока

Мне не все удалось, придется дома подольше посидеть…

Мне было очень трудно. Я ничего

не понял.

Мне всё удалось!

Спасибо за урок!