Презентация к уроку по теме "Мир тригонометрии"

Что такое 1 радиан?

Актуализация опорных знаний:

Перевести:

• в радианы: 30°,45°,60°,90°,270°,

-720°.

• в градусы:  π, , , -3π, .

Переход от градусной меры углов к радианной Переход от радианной меры углов к градусной  

Вариант №1 - ЛЛЛ

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: ,

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/6

Вариант №2

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: ,

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/10

Вариант №3 - ППП

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: ,

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: 5.

Зачем нам нужна тригонометрия

950

а

х

Тригономе́трия

• (от греч. τρίγονο (треугольник ) и греч. μετρειν ( измерять ), то есть измерение треугольников ) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Тригонометрия – слово греческое и в переводе означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с измерениями на земле, строительным делом, астрономией. А первое знакомство с ней произошло тогда, когда вы взяли в руки транспортир.

13

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд.

Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Иоганн Бернулли (1642-1727 )

Разделы тригонометрии

• Тригонометрия делится на плоскую, или прямолинейную, и сферическую тригонометрию .
• Теория тригонометрических функций (гониометрия) и её приложения к решению плоских прямоугольных и косоугольных треугольников мы с вами изучаем в основной школе

Основные формулы плоской тригонометрии

Теорема синусов:

Теорема косинусов:

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Дугу он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° - a)).

13

Сферическая тригонометрия, являющаяся частью сферической геометрии, рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов на сфере.

Исторически сферическая тригонометрия и геометрия возникли из потребностей астрономии, геодезии, навигации, картографии. Подумайте, какое из этих направлений в последние годы получило столь бурное развитие, что его результат уже применяется в современных коммуникаторах. … Современное применение навигации – это система спутниковой навигации, которая позволяет определить местоположение и скорость объекта по сигналу его приемника.

13

При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла – распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду).

Давайте прислушаемся к биению своего сердца. Сердце – самостоятельный орган. Головной мозг управляет любой нашей мышцей, кроме сердечной. У нее есть собственный центр управления – синусный узел. При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла (размером с просяное зерно)– распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду)

13

Сложение гармоник дает колебание более сложной формы, а естественные, природные звуки и звуки музыкальных инструментов складываются из большого количества гармоник.

Теперь поговорим о музыке. Математика – это музыка, это союз ума и красоты.  Музыка – это математика по вычислениям, алгебра по абстрагированию, тригонометрия по красоте. Гармоническое колебание (гармоника) – это синусоидальное колебание.

13

Почему летом теплее, чем зимой?

• Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты
• Зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъёма над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара.
• ПОТОК ЭНЕРГИИ, ИДУЩЕЙ ОТ Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности.

Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты

Именно эту зависимость применяет курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.

13

Сферы

применения

• Астрономия
• Геодезия
• Картография
• Механика
• Оптика
• Акустика

• Строительство
• Архитектура
• Дизайн
• Навигация
• Медицина
• Музыка
• Спорт

ТРИГОНОМЕТРИЯ

13

Формулы приведения

y

π/2+t π/2 π/2-t

1) Определить четверть

π – t 2π+t 2) Определить знак функции

π х 3) От ОХ – не меняем на кофункцию

2π-t

π+t 4) От ОУ – меняем на кофункцию.

3π/2-t 3π/2 3π/2+t

Формулы приведения

• sin(
• cos

• cos(

• tg(

• sin(

• sin(
• - cos

• cos(
• - cos

Основные тригонометрические формулы

sin 2 a+cos 2 a

сtgα

1

tgα

tgα ⋅ ctgα

tg 2 α+1

ctg 2 α+1

1

Основные тригонометрические формулы

sin 2 a+cos 2 a

сtgα

1

tgα

tgα ⋅ ctgα

tg 2 α+1

ctg 2 α+1

1

Основные тригонометрические формулы

Тест

1 вариант 

2 вариант

Упростить выражение:

7 cos 2 а +7 sin 2 а - 5

а) 1+cos 2 а; б) 2; в) –12; г) 12

2) Упростить выражение:

5 – 4 sin 2 а - 4cos 2 а

а) 1; б) 9; в) 1+8sin 2 а; г) 1+cos 2 а.

3) Упростить выражение:

(1 – cos 2 а): cos 2 а – tg 2 а

а) ctg 2 а; б) 0; в) ctg 2 а - tg 2 а; г) 2tg 2 а

4) Упростить выражение

cos 4 х + sin 2 х·cos 2 х

а) cos 2 x; б) 2sin 2 х; в)- cos 2 х;

г) cos 4 х

• Упростить выражение

9 cos 2 а+ 9 sin 2 а - 10

а) -1; б) 0; в) sin 2 а; г) 10

2) Упростить выражение:

8 – 3 sin 2 а - 3cos 2 а

а)1+ sin 2 а; б) cos 2 а-1; в) 1; г) 5

3) Упростить выражение:

  (1 – sin 2 а): sin 2 а– сtg 2 а

а) sin 2 а ; б) 0; в) 2сtg 2 а; г) sin 2 а

4) Упростить выражение

  sin 4 х + sin 2 х·cos 2 х

а) sin 4 х; б) 2sin 2 х; в) sin 2 x;

г) cos 2 x

Тригонометрия –

это просто и понятно !

Ответы:

Вариант 1: 1а, 2г, 3б, 4в Вариант 2: 1б, 2а, 3б, 4а

Групповая работа

1 ГРУППА.

В треугольнике АВС АС = ВС =5. Найдите АВ.

Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

3 ГРУППА.

В треугольнике АВС угол С равен 90  ,

Найдите

Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

2 ГРУППА.

1)В треугольнике АВС угол С равен 90  , угол А равен 60  , АВ = 8. Найдите АС.

Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

Это интересно!

Подведение итогов урока:

Сегодня на уроке

я повторил …

Сегодня на уроке

я научился …

Мне необходимо

еще поработать над …

Сегодня на уроке мне понравилось…

Домашнее задание

Проверь себя

Найти ширину

реки.

х

а



Башня

Измерить высоту

a



h