Презентация к уроку алгебры "Перестановки. Размещения" (11 класс)

11 класс Алгебра и начала математического анализа

Перестановки. Размещения

Автор презентации: Попов Дмитрий Сергеевич

Алгоритм работы с презентацией:

• Слайды 3 – 11 – рассмотрите решение задачи;
• Слайд 12 – выписать.
• Слайд 13 – рассмотрите решение задачи.
• Слайд 14 – выписать.
• Слайд 15 – рассмотрите решение задачи.
• Слайды 16, 17 – изучить.
• Слайды 18 – 20 – рассмотрите решение заданий.
• Слайд 21 – выполнить домашнее задание.

Задача 1

Решим задачу: Сколькими способами можно расставить на полке три учебника: по алгебре, геометрии и по физике?

Рассмотрим всевозможные варианты таких расстановок.

Задача 1

Пусть первым будет стоять учебник по физике. Тогда возможны такие варианты расположения:

ФАГ

Задача 1

Пусть первым будет стоять учебник по физике. Тогда возможны такие варианты расположения:

ФАГ ФГА

Задача 1

Пусть первым будет стоять учебник по алгебре. Тогда возможны такие варианты расположения:

ФАГ ФГА

АФГ

Задача 1

Пусть первым будет стоять учебник по алгебре. Тогда возможны такие варианты расположения:

ФАГ ФГА

АФГ АГФ

Задача 1

Пусть первым будет стоять учебник по геометрии. Тогда возможны такие варианты расположения:

ФАГ ФГА

АФГ АГФ

ГАФ

Задача 1

Пусть первым будет стоять учебник по геометрии. Тогда возможны такие варианты расположения:

ФАГ ФГА

АФГ АГФ

ГАФ ГФА

Задача 1

Таким образом три учебника мы можем расставить шестью способами: 2 + 2 + 2 = 6.

ФАГ ФГА

АФГ АГФ

ГАФ ГФА

Задача 1

Таким образом три учебника мы можем расставить шестью способами: 2 + 2 + 2 = 6.

ФАГ ФГА

АФГ АГФ

ГАФ ГФА

Каждый из полученных нами расположений называют перестановкой из трёх элементов.

Определение:

Перестановки из n элементов называются соединения, которые состоят из n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Число перестановок из n элементов обозначают: Р n Р n = n ∙ ( n – 1) ∙ ( n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Произведение первых n натуральных чисел обозначают n! (читается «эн факториал»).

Р n = n! – число перестановок из n различных элементов.

Задача 2

Сколькими способами можно положить 6 различных открыток в 6 имеющихся конвертов (по одной открытке в конверт).

Решение: Задача сводится к нахождению числа перестановок из 6 элементов. Р 6 = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.

Ответ: 720 способами.

Размещения

Задача 3

Сколькими способами из 40 учеников класса можно выделить актив в следующем составе: староста, физорг и редактор стенгазеты?

Решение:

Требуется выделить упорядоченные трехэлементные подмножества множества, содержащего 40 элементов, т.е. найти число размещений без повторений из 40 элементов по 3.

40!

A = = 38 ∙ 39 ∙ 40 = 59280

3

37!

40

Объектов n=8 Отобрать нужно к=3 Найти А n k - ?

ТЕОРЕМА. A n k =n(n – 1)(n – 2)…..(n – k +1)

Доказательство: Выбрать один элемент из n элементов можно n способами. Если этот выбор сделан, то второй элемент выбирается из (n -1) элементов, т.к. повторения запрещены, то третий элемент выбирают из (n– 2) элементов,… к-ый элемент (последний) из n – (к – 1) элементов.

По правилу произведения получим:

A n k =n(n – 1)(n – 2)…..(n – k +1).

Рассмотрите решение №1067 (2):

Рассмотрите решение №1076 (1):

Рассмотрите решение №1077 (1,5):

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• Изучить п. 61, 62.
• Решить №1065 (1,5); №1067 (1,3); №1068; №1076 (2), №1077 (2,4).

Успехов в выполнении домашнего задания!