Презентация к уроку "Дробно-рациональные уравнения"

05.03.2018г

Решение задач с помощью дробно-рациональных выражений

Если обе части уравнения являются рациональным выражением, то такие уравнения называют рациональным уравнением.

Рациональные уравнения

Целые рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

• Перенести все в одну часть
• Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
• Умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы получить целое уравнение;
• Решить полученное целое уравнение;
• Исключить корни, обращающие каждый знаменатель в нуль
• Записать ответ

• Задачи на движение по местности.
• Задачи на движение по воде.
• Задачи на работу.
• Задачи на нахождение дробей и т.д.

s – расстояние, v – скорость, t - время

s = v t

t = s : v

v = s : t

s = v : t

t = s ∙ v

v = t : s

t : v = s

v ∙ t = s

выход

Устно

При каких значениях переменной существует данная дробь

а) б) ?

Рассмотрим уравнения

Ответ: 0

Решение уравнений.

В а р и а н т 1. В а р и а н т 2.

В а р и а н т 3. В а р и а н т 4.

О т в е т ы:

I вариант: , ( ; )

II вариант: ( ; )

III вариант: ( )

IV вариант: , ( ; ).

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

Пусть х ч – время, затраченное на дорогу от озера до деревни. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

s – расстояние, v – скорость, t - время

s = v t

От озера

Скорость

От деревни

Время

Расстояние

15 х км

х ч

15 км/ч

1 ч

(1 – х ) ч

10(1 – х ) км

10 км/ч

Скорость

От озера

От деревни

Время

Расстояние

15 км/ч

х ч

15 х км

(1 – х ) ч

10(1 – х ) км

10 км/ч

Расстояние одно и то же, т.е одинаковое.

10(1 – х ) км

=

15 х км

верно

А. 15 х = 10(1 – х )

15

10

неверно

v : t

Б.



+

1

1 – х

х



t

s

s

В. 15 х + 10(1 – х ) = 1

неверно

=

2

1





неверно

t

v

t

v

Г. 15(1 – х ) = 10 х

=

выход

1

2

2

1

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

Лыжник от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 12 км/ч. Сколько времени ушло у него на обратную дорогу, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 3 ч?

s – расстояние, v – скорость, t - время

Пусть х ч – время на обратную дорогу. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

s = v t

Скорость

От озера

От деревни

Время

Расстояние

(3 – х ) ч

15(3 – х ) км

15 км/ч

3 ч

12 х км

12 км/ч

х ч

От озера

Скорость

Время

От деревни

Расстояние

15 км/ч

(3 – х ) ч

15(3 – х ) км

х ч

12 х км

12 км/ч

Расстояние одно и то же, т.е одинаковое.

12 х км

15(3 – х ) км

=

А. 15(3 – х ) = 12 х

верно

15

12

неверно

v : t

Б.



+

3

3 – х

х







неверно

t

v

v

t

В. 15 х + 12(3 – х ) = 3

1

1

2

2





неверно

t

v

v

t

Г. 15 х = 12(3 – х )

=

выход

1

2

2

1

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

Скорость первого велосипедиста на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому на путь длиной 20 км ему потребовалось на 20 мин меньше, чем второму. Чему равны скорости велосипедистов?

Пусть х км/ч – скорость первого велосипедиста. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

s – расстояние, v – скорость, t - время

t = s : v

Расстояние (км)

Первый велосипедист

Второй велосипедист

Скорость (км/ч)

Время

(ч)

20

на 3 км/ч больше

20

х

х

20

на 3 км/ч меньше

х – 3

20

х – 3

Первый велосипедист

Расстояние (км)

Скорость (км/ч)

Второй велосипедист

Время

(ч)

20

20

х

х

20

х – 3

20

х – 3

20 мин = ч = ч

20

Время первого велосипедиста на 20 мин меньше, чем время второго.

1

3

60

t

t

1

20

20



неверно

А.



–

1

2

х – 3

х

3

20

1

20

Б.

верно



–

х

х – 3

3

20

20

В.

неверно

20 мин!



–

20

х

х – 3

s∙ v

неверно

Г. 20 х – 20( х – 3) =20

выход

Скорость первого пешехода на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому на путь длиной 5 км ему потребовалось на 15 мин меньше, чем второму. Чему равны скорости пешеходов?

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

Пусть х км/ч – скорость первого пешехода. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

t = s : v

Расстояние (км)

Первый пешеход

Скорость (км/ч)

Второй пешеход

Время

(ч)

5

х

5

на 1 км/ч больше

х

5

х – 1

на 1 км/ч меньше

5

х – 1

Расстояние (км)

Первый пешеход

Второй пешеход

Скорость (км/ч)

Время

(ч)

5

х

5

х

5

х – 1

5

х – 1

15 мин = ч

Время первого пешехода на 15 мин меньше, чем время второго.

1

4

1

5

5

А.

верно



–

х

х – 1

4

5

1

5

t

t

Б.



неверно



–

1

2

х

х – 1

4

5

5

В.

неверно

15 мин!



–

15

х – 1

х

s v

неверно

Г. 5 х – 5( х – 1) = 15

∙

выход

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколяько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? н

Расстояние по реке между двумя деревнями равно 2 км. На путь туда и обратно моторная лодка затратила 22 мин. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч?

Пусть х ч – собственная скорость лодки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

t = s : v

Расстояние

По течению

Скорость

Против течения

Время

2

ч

( х + 1) км/ч

2 км

х + 1

2

ч

( х – 1) км/ч

2 км

х – 1

По течению

Расстояние

Против течения

Скорость

Время

2

ч

2 км

( х + 1) км/ч

х + 1

2

( х – 1) км/ч

2 км

ч

х – 1

22 мин = ч = ч

22

На весь путь по течению и против течения лодка затратила 22 мин.

11

60

30

s ∙ v

А. 2( х + 1) + 2( х – 1) = 22

неверно

а

2

11

2

Б.

верно



+

х + 1

х – 1

30

х + 1

11

х – 1

v s

:

В.

неверно



–

2

30

2

2

2

Г.

22 мин

неверно



+

22

выход

х + 1

х – 1

19

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? н

Моторная лодка курсирует между двумя пристанями, расстояние между которыми по реке равно 4 км. На путь по течению у нее уходит на 3 мин меньше, чем на путь против течения. Чему равна скорость течения реки, если известно, что скорость лодки в стоячей воде равна 18 км/ч?

Пусть х ч – скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

t = s : v

По течению

Расстояние

Против течения

Скорость

Время

4

(18 + х ) км/ч

4 км

ч

18 + х

4

(18 – х ) км/ч

4 км

ч

18 – х

По течению

Расстояние

Скорость

Против течения

Время

4

ч

4 км

(18 + х ) км/ч

18 + х

4

(18 – х ) км/ч

4 км

ч

18 – х

3 мин = ч = ч

3

Время по течению на 3 мин меньше, чем время против течения.

1

60

20

4

1

2

верно

А.



–

18 – х

18 + х

20

18 + х

18 – х

неверно

v s

Б.

:



–

3

4

4

t

1

t

4

2



неверно

В.



–

1

2

18 + х

18 – х

20

s v

неверно

∙

Г. 4(18 + х ) – 4(18 – х ) = 3

выход

От города до поселка автомобиль доехал за 3 ч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то затратил бы на этот путь на 1 ч меньше. Чему равно расстояние от города до поселка?

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

Пусть х км – расстояние от города до поселка. Какое уравнение соответствует условию задачи?

v = s : t

Расстояние (км)

Проехал

Время

(ч)

Мог проехать

Скорость

(км/ч)

х

х

3

3

х

2

х

на 1 ч меньше

2

Расстояние (км)

Проехал

Мог проехать

Время

(ч)

Скорость

(км/ч)

х

х

3

3

х

2

х

2

Увеличится скорость автомобиля

на 25 км/ч.

Времени на путь затрачено больше, значит скорость движения меньше.

х

х

А.

верно



–

25

2

3

х

х

v

v



Б.

неверно



–

25

1

2

3

2

:

2

3

t s

В.

неверно



–

25

х

х

:

3

2

t s

В.

неверно

выход



–

25

х

х

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

От дома до школы Коля обычно едет на велосипеде со скоростью 10 км/ч. Чтобы приехать в школу раньше на ¼ ч, ему надо ехать со скоростью 12 км/ч. Чему равно расстояние от дома до школы?

Пусть х км – расстояние от дома до школы. Какое уравнение соответствует условию задачи?

t = s : v

Расстояние (км)

Едет

Скорость (км/ч)

Надо ехать

Время

(ч)

х

х

10

10

х

12

х

12

Расстояние (км)

Ехал

Скорость (км/ч)

Надо ехать

Время

(ч)

х

х

10

10

х

12

х

12

Приедет раньше на ¼ часа.

Скорость движения меньше, значит времени на путь затрачено больше.

х

х

1

верно

А.



–

10

4

12

х

х

15 мин

неверно

Б.



–

15

12

10

х

х

1

t

t

А.

неверно





–

12

4

2

10

1

х

х

t

t

неверно

Б.



выход



–

15

12

10

2

1

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

Скорость автобуса на 25 км/ч меньше скорости автомобиля. Расстояние от города до поселка автобус проезжает за 3 ч, а автомобиль за 2 ч. Какова скорость автобуса?

Пусть скорость автобуса х км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

s – расстояние, v – скорость, t - время

s = v t

Автобус

Скорость

Время

Автомобиль

Расстояние

на 25 км/ч меньше

3 ч

3 х км

х км/ч

на 25 км/ч больше

2( х + 25) км

( х + 25) км/ч

2 ч

Скорость

Автобус

Автомобиль

Время

Расстояние

3 ч

х км/ч

3 х км

( х + 25) км/ч

2( х + 25) км

2 ч

Расстояние одно и то же, т.е одинаковое.

верно

А. 3 х = 2( х + 25)



v

t

Б. 2 х = 3( х – 25)

неверно

1

2



В. 2 х = 3( х + 25)

t

v

неверно

2

1



Г. 3 х = 2( х – 25)

неверно

t

v

выход

2

2

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

Скорость автобуса на 27 км/ч больше скорости велосипедиста. Расстояние от города до поселка велосипедист проезжает за 5 ч, а автобус за 2 ч. Какова скорость автобуса?

Пусть скорость автобуса х км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

s – расстояние, v – скорость, t - время

s = v t

Скорость

Автобус

Время

Велосипедист

Расстояние

на 27 км/ч больше

2 ч

х км/ч

2 х км

на 27 км/ч меньше

5 ч

5( х – 27) км

( х – 27) км/ч

Скорость

Автобус

Велосипедист

Время

Расстояние

2 ч

х км/ч

2 х км

5( х – 27) км

( х – 27) км/ч

5 ч

Расстояние одно и то же, т.е одинаковое.



v

t

неверно

А. 5 х = 2( х – 27)

2

1



v

t

Б. 5 х = 2( х + 27)

неверно

1

2



В. 2 х = 5( х + 27)

t

v

неверно

2

2

Г. 2 х = 5( х – 27)

верно

выход

Скорость велосипедиста на 36 км/ч меньше скорости мотоциклиста. Расстояние от города до поселка велосипедист проезжает за 6 ч, а мотоциклист за 2 ч. Какова скорость велосипедиста?

Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?

Пусть скорость велосипедиста х км/ч. Какое уравнение соответствует условию задачи?

s – расстояние, v – скорость, t - время

s = v t

Велосипедист

Скорость

Мотоциклист

Время

Расстояние

6 ч

на 36 км/ч меньше

6 х км

х км/ч

на 36 км/ч больше

2( х + 36) км

( х + 36) км/ч

2 ч

Скорость

Велосипедист

Мотоциклист

Время

Расстояние

6 ч

х км/ч

6 х км

2( х + 36) км

( х + 36) км/ч

2 ч

Расстояние одно и то же, т.е одинаковое.



неверно

v

t

А. 6 х = 2( х – 36)

2

2

Б. 6 х = 2( х + 36)

верно



В. 2 х = 6( х – 36)

t

v

неверно

2

1



t

v

неверно

Г. 2 х = 6( х + 36)

выход

1

2