Презентация к уроку геометрии по теме: "Формула Герона".

Формула Герона

Презентация к уроку геометрии для 8 класса "Формула Герона"

Геро́н Александри́йский

ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ .

Вероятно, I – II вв н.э. - древнегреческий инженер, физик, математик, изобретатель

Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоэтика,

Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах); и др

В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда. Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке). Одна из копий его книг, сделанная в 16 веке, содержится

ДИОПТРА – одно из изобретений Герона

в Оксфордском Университете

ШАР ГЕРОНА

Одно из его изобретений носит название «шар Герона». В шар наливали воду и нагревали над огнем. Вырывающийся из трубки пар начинал вращать шар. Эта установка иллюстрирует реактивное движение.

Задача Герона Александрийского

• Бассейн ёмкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна дает в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час - четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обоих труб?

решение:

• 1) 1+4=5(куб.ед/час)-дают две трубы.
• 2)12:5=2,4(час)-2 часа 24 мин
• Ответ : при совместном действии двух труб бассейн наполнится за 2часа 24минуты.

ТЕАТР ГЕРОНА

• Этот театр (пинака) был очень мал по своим размерам, его легко переносили с места на место, Он представлял собой небольшую колонну, наверху которой находился макет театральной сцены, скрытой за дверцами. Они открывались и закрывались пять раз, разделяя на акты драму о печальном возвращении победителей Трои. На крошечной сцене с исключительным мастерством показывалось, как воины сооружали и спускали на воду парусные корабли, плыли на них по бурному морю и погибали в пучине под сверкание молний и раскаты грома. Для имитации грома Герон создал специальное устройство, в котором из ящика высыпались шарики, ударявшиеся о доску.

ФОРМУЛА ГЕРОНА

• Формула очень важна с практической точки зрения - она позволяет вычислять площадь земельного участка по длинам его сторон, очень быстро.
• Вспомним, в Древнем Египте собирали урожай два раза в год, а восстанавливать границы земельных участков после разлива Нила в жарком климате надо было очень быстро, пока земля не пересохла.

Теорема. Площадь S треугольника, стороны которого равны

a, b, c вычисляется по формуле

где p – полупериметр треугольника.

А

b

Дано: ABC, AB= c , AC= b , BC= a

p – полупериметр АВС.

Док-ть:

Доказательство.

с

h

x

a-x

a

С

В

D

Введем обозначения: AD= h ,

Проведем высоту АD треугольника ABC.

BD= x, тогда DC= a-x.

По теореме Пифагора AD 2 =AB 2 -BD 2 и AD 2 =AC 2 -CD 2 . Поэтому AB 2 -BD 2 =AC 2 -CD 2 , то есть c 2 -x 2 =b 2 -(a-x) 2 . (1)

А

c 2 -x 2 =b 2 -(a-x) 2 (1)

b

Из уравнения (1) получаем, что 2 ax=a 2 +c 2 -b 2 ,

с

h

x

a-x

Поскольку AD 2 =AB 2 -BD 2 , то h 2 =c 2 -x 2 (2) и

D

С

В

a

(3)

Последовательно раскладывая на множители разность квадратов в числителе правой части равенства (3), получаем:

(4)

Периметр a+b+c треугольника ABC обозначим 2 p . Получим

a+b-c=2p-2c, a+c-b=2p-2b, b+c-a=2p-2a. Поэтому окончательно

(5)

Так как площадь S треугольника АВС выражается формулой S=0,5 ah , то, подставляя в нее h по формуле (5), получаем, что

Следствие.

Площадь равностороннего треугольника со стороной а выражается формулой

Решите задачи устно.

В

B

C

13

14

8

10

С

15

А

D

A

6

Найти: S ABC

Найти: S ABCD

9

B

C

11

7

H

D

A

12

Найти: S ABCD

Задача №504. Меньшая сторона параллелограмма равна 29см. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит ее на отрезки, равные 33см и 12см. Найдите площадь параллелограмма.

Дано: АВСD – параллелограмм, АВ=29см,

АС, ВD – диагонали, АС BD=O,

АК AD, AK=33см, KD=12см.

Найти: S ABCD.

Решение:

В

С

O

29

D

H

33

А

K

12

В треугольнике ABD проведем BH AD.

По теореме Фалеса HK=KD=12cм.

Тогда AH=AK-HK=33-12=21(cм).

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора имеем:

S ABCD =AD ·BH=45·20=900(см 2 )

Задача №517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если AB=5см, BC=13см, CD=9см, DA=15см, АС=12см.

1 способ

С

Применим к треугольникам ABC и ACD формулу Герона.

13

В

9

12

5

А

D

15

S ABCD =S ABC +S ACD =30+54=84(см 2 )

2 способ

В треугольнике АВС ВС 2 =АВ 2 +АС 2 , поэтому треугольник АВС прямоугольный с гипотенузой ВС.

13

С

В

9

5

12

S ABC =0,5AB ·AC=0,5·5·12=30(см 2 )

А

D

15

Аналогично доказывается, что треугольник ACD прямоугольный

S ACD =0,5AC ·CD=0,5·12·9=54(см 2 )

S ABCD =84(см 2 )

№ 1

Дано : ABC - треугольник, AB=14см, BC=13см, AC=15см.

Найти : S ABC .

№ 2

Дано: ABCD - трапеция, AB=7см. BC=9см, AD=12см, BD=11см.

Найти : S ABCD .

Задачи на повторение: №3

Дано : ABCD – параллелограмм, BK=6см, KD=3см,  A=45 0 .

Найти : S ABCD

Ответ : 54 см.кв.

№ 4

Дано : ABC – треугольник прямоугольный, BC=10см, AB=8см .

Найти : S ABC

Ответ : 24 см.кв.

Домашняя работа

№ 499(а), №5 с карточки

№ 5

Дано : ABCD – ромб, AC=10см, BD=6см.

Найти : S ABCD

Ответ : 30 см.кв.