Презентация к уроку геометрии по теме: "Соотношение между сторонами и углами треугольника".

9 класс

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Повторение

Формулы для вычисления координаты точки

А (х;у)

Sin α = y:1 = y

Cos α = x : 1 = x

По единичной

окружности видно, что:

-1 ≤ Sin α ≤ 1

-1 ≤ Cos α ≤ 1

Если т. А имеет (х;у ), то

х = ОА · Cos α

у = ОА · Sin α

(формулы для вычисления координат точки)

у

Sin α

1

М( х;у )

( Cos α ; Sin α )

1

у

-1

1

α

Х

0

Cos α

Х

-1

Определение

Для любого угла α из промежутка

0 °≤ α ≤ 180 °

синусом угла α называется ордината точки М,

косинусом угла α называется абсцисса точки М,

тангенсом угла α называется отношение синуса угла α к косинусу угла α

Таблица значений синуса, косинуса и тангенса некоторых углов

180 °

0 °

90 °

0

0

1

-1

1

0

α

0

-

0

Sin α

30 °

1 / 2

Cos α

45 °

tg α

√ 3/2

√ 2/2

60 °

√ 3/2

√ 3/3

√ 2/2

1

1 / 2

√ 3

Задача 1. Найдите sin α , если cos α = ½ .

Дано:

cos α = ½

sin α -?

Решение.

Т.к. cos² α + sin² α = 1, то

sin² α = 1 - cos² α =

=1 - ( ½ ) ² = 1 - (1/4)=3/4 ,

т.к. 0≤ sin α ≤1, то sin α = √3/2

Ответ: sin α = √3/2

Задача 2. Найдите cos α , если sin α = √3/2

Дано:

sin α = √3/2

cos α -?

Решение.

Т.к. cos² α + sin² α = 1, то

cos² α = 1 - sin² α =

=1 – (√3/2) ² = 1 – ¾ = ¼ ,

т.к. -1 ≤ cos α ≤ 1, то

cos α = ± 1/2

Ответ: cos α = ± 1/2

Задача 3. Найдите tg α , если cos α = - √3/2

Дано:

cos α = - √3/2

tg α -?

Решение.

1) Т.к. cos² α + sin² α = 1, то

sin² α = 1 - cos² α =

= 1- (- √3/2 ) ² = 1 - (3/4) = 1/4 ,

т.к. 0≤ sin α ≤1, то sin α = ½

2) tg α = sin α : cos α =

= ½ : ( - √3/2 ) = ½ · (- 2/√3 ) = - 1/√3 =

= - √3/3

Ответ : tg α = - √3/3

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Площадь треугольника

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

т.е. S = ½ · а · в · sin С

S = ½ · а · с · sin В

S = ½ · в · с · sin А

(доказательство на стр.25 2 )

В

с

а

С

А

в

Найти площади

треугольников :

1 уровень

М

А

5

6

5

В

С

О

К

7

3

1

2

E

S

4

F

R

6 0 °

10

T

N

4

3

8

11

11

b

a

b

a

c

Формула Герона

h

a

Теорема синусов

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

(доказательство на стр.25 2 )

В

с

а

С

А

в

Теорема косинусов

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

а ² = в ² + с ² -2вс · Со s А

в ² = а ² + с ² -2ас · Со s В

с ² = а ² + в ² -2ав · Со s С

(доказательство на стр.25 3 )

В

с

а

А

С

в

8

5

Найдите площади треугольников:

1 уровень

1

2

5

60 º

6

3

45 º

Уровень 2. Задача 1 Найдите площадь равнобедренного треугольника:

А

5

5

15 º

15 º

В

С

Уровень 2. Задача 2 Найдите площадь параллелограмма:

A

B

BD=6

AC=10

120 º

D

C

Уровень 2. Задача 3 Найдите площадь параллелограмма:

А

В

45 º

5

Д

С

8

Домашнее задание

стр. 261 № 1020 (в)

№ 1022

Площадь параллелограмма

Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

S = AB·AD·SinA

В

С

А

D

Решение треугольников

Задача 1. (по двум сторонам и углу между ними)

Дано: а; в; угол С

Найти: с; угол А; угол В

Решение.

1) По теореме косинусов

с = √ а ² + в ² -2ав · Со s С

2) По теореме косинусов Со s А= ( в ² + с ² - а ² ):2вс

угол А находим по таблице Брадиса

3) Угол В =180 ° - (угол А + угол С)

В

а

с

А

С

в

Решение треугольников

Задача 2. (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Дано: а, угол В, угол С

Найти: в; с; угол А

Решение:

1) А = 180 ° - ( В + С)

2) по теореме синусов

В

с

а

А

С

в

Решение треугольников

Задача 3. (по трём сторонам)

Дано: а; в; с

Найти: А; В; С

Решение.

1) по теореме косинусов

Со s А= (в ² + с ² - а ² ):2вс

и угол А находим по таблице Брадиса

2) по теореме косинусов Со s В = (а ² + с ² - в ² ):2ас

и угол В находим по таблице Брадиса

3) С = 180 ° - (А + В)

В

с

а

А

С

в

Решаем вместе

Стр. 2 67

№ 1060 (а;б;в;г)

Самостоятельно:

№ 1061

Домашнее задание

стр.2 57 № 1025 (а;б;в)

№ 1026