Презентация на тему "Решение треугольников"

«Математика - царица наук» и, наверное, не каждый догадывается, что огромный толчок в развитии всей математики дала именно геометрия. Геометрия – «измеряю землю» Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Древнегреческий философ Платон, проводивший беседы со своими учениками в роще « Академа», откуда и пошло название «академия»,одним из девизов своей школы провозгласил «Не знающие геометрии не допускаются! Было это примерно 2400 лет тому назад. Из геометрии вышла наука, которая называется математикой.

Сумма углов треугольника 180 о

•  А +  В +  С = 180 о

А

В

С

Теорема синусов.

• Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

А

в

с

В

С

а

Теорема косинусов.

• Квадрат стороны треугольника

равен сумме квадратов двух

других сторон минус удвоенное

произведение этих сторон на

косинус угла между ними.

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 – 2АС  ВС  cos  C

В

А

С

Задача1. РЕШИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ.

Дано:

• Дано:

∆ АВС

В

а, в,  С

?

а

С ?

Найти: с,  А,  В.

Решение: 1.По теореме

косинусов с =

?

А

С

в

2.По теореме косинусов

3.  A=18O о -  A -  C

ЗАДАЧА 2 . Решить треугольник по стороне и прилежащим к ней углам.

В

Дано:∆ A BC,

a,  В ,  C .

Найти: b , c ,  A.

Решение:1.  A=180 о -  B -  C .

2. По теореме синусов

с?

а

?

А

b ?

С

b=

c =

ЗАДАЧА 3. Решить треугольник по трем сторонам.

В

Дано:∆ ABC

a, b, c .

Найти:  A ,  B ,  C .

Решение:

1.По теореме косинусов

?

c

а

?

A

?

b

С

а 2 +в 2 остроугольный , если с 2 прямоугольный , если с 2 = а 2 +в 2 " width="640"

Это нужно запомнить!

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.
• Косинус большего угла можно найти по формуле из теоремы косинусов.
• Треугольник, у которого с наибольшая сторона, будет

тупоугольный , если с 2 а 2 +в 2

остроугольный , если с 2

прямоугольный , если с 2 = а 2 +в 2

При определении угла треугольника лучше находить его косинус, чем синус. Это связано с тем, что синус не различает смежные углы.

ЗАДАЧА1. футбольный мяч находится на расстоянии 23м от одной штанги ворот и 24м от другой. Ширина ворот 7м. Найдите угол попадания мяча в ворота.

7

23

24

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ №1.

24 2 +23 2 -7 2

В

Cos  A=

≈

23

2 · 23 · 24

7

?

0,9565

≈

А

24

 А≈16 ˚58 '

С

ЗАДАЧА4. Для измерения высоты холма отошли от него по прямой линии и отметили на этой прямой точку Д, из которой холм виден под углом в 30 ˚, затем – точку С, из которой холм виден под углом в 15˚. Какое расстояние нужно измерить на местности, чтобы найти высоту холма?

А

30 ˚˚

15 ˚

С

В

Д

ЗАДАЧА2. Два геолога находятся на одном берегу реки на расстоянии 300м друг от друга. Один видит дерево на противоположном берегу под углом 38 0 , а другой это же дерево – под углом 67 0 . На каком расстоянии от дерева находятся каждый из них.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ №2.

 С =75 ˚

В

По теореме синусов:

СВ ≈ 286м

СА ≈192м

?

38 ˚

300

С

67 ˚

?

А

Задача3. На расстоянии 1500м от подножия горы находится лыжная база. От подножия горы до вершины 2 км. Какой длины должен быть подъемник, чтобы лыжники могли подниматься на вершину горы прямо от лыжной базы, если угол наклона горы 110 о .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ №3.

cos110 ˚=-cos70˚ ≈ -0 ,3420

АВ 2 = 2 2 +1,5 2 -2 · 2 · 1,5 ·cos110 ˚=

≈ 4+2 ,25+6 ·0 ,3420= =8,3021

?

2км

АВ ≈ 2,8813

АВ ≈ 2881м

110 ˚

1500м