Презентация на тему "Схема Бернулли"

Занимательная математика

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс.

Урок на тему:

Схема бернулли.

Схема Бернулли.

Ребята, мы продолжаем изучать элементы теории вероятности. На прошлом уроке в задаче для самостоятельного решения, была задана задача, про стрелков и их попадание в цель. Давайте разберем случай, когда у нас есть только один стрелок и он производит несколько выстрелов.

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,7. Стрелок производит последовательно три выстрела. Найти вероятность:

а) Все три выстрела будут точными.

б) Все три выстрела будут не точными.

в) Будет хотя бы одно попадания.

г) Будет ровно одно попадание.

Решение. Как и при решении любой задачи давайте зададим событие А – попадание в цель при первом выстреле. Вероятность события А равна 0.7, и вероятность обратного события, т.е. промаха, равна 0.3. Событие Б и С попадание в цель при втором и третьем выстреле соответственно. Все эти события между собой независимы.

Схема Бернулли.

а) Все три выстрела будут точными. Значит стрелок попал и при первом выстреле, и при втором, и при третьем выстреле, на прошлом уроке мы с вами заметили, что логическое “и” соответствует умножению:

б) По аналогии с предыдущим пунктом нам надо найти вероятность, что будут промахи при каждом выстреле:

Схема Бернулли.

в) Будет хотя бы одно попадания. Этот случай довольно таки запутанный – благоприятные нам возможные исходы испытаний: Попадание ровно один раз – 3 случая, попадание два раза (первый попал, второй попал, третий промахнулся и т.д.) -3 случая, и попадание все 3 раза – один случай. Вычислять вероятность для каждого случая и складывать довольно таки долго. Давайте найдем обратную вероятность для данного пункта. Обратная нам задача – все три промаха, соответствующую вероятность нашли в предыдущем пункте, тогда:

Схема Бернулли.

г) Будет ровно одно попадание. Тут возможно три варианта благоприятных событий – (1) первый попал, а двое других промахнулись (2) первый и третий промахнулись, второй попал (3) первый и второй промахнулись, третий попал. Т.е. может произойти или (1) или (2) или (3) – вероятность суммы данных событий. Помним про несовместность всех наших событий.

Схема Бернулли.

Наша задача в общем случае представляет собой модель следующего события: Одно и то же испытание (эксперимент) проводится несколько раз, причем возможно всего два исхода испытания (попадание или не попадание, выпадение орла или решки при подбрасывании монетки). Такая модель называется схемой Бернулли. Якоб Бернулли – Швейцарский математик, который первым предложим способ вычисления вероятности модели описанной выше. Рассмотрим схему более подробно.

Пару слов о великом математики из Википедии:

Я́коб Берну́лли  (нем.  Jakob Bernoulli , 27 декабря 1654, Базель, — 16 августа 1705, там же) — швейцарскийматематик. Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Старший брат Иоганна Бернулли, совместно с ним положил начало вариационному исчислению. Доказал частный случай закона больших чисел — теорему Бернулли. Профессор математики Базельского университета (с 1687 года). Иностранный член Парижской академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701).

- событие А, обозначим вероятность P(A)=p ; - событие .Вероятность неудачи обозначим q и тогда: Теорема. (Схема испытаний Бернулли). Пусть – вероятность наступления ровно k “успехов” в серии из n независимых повторений одного и того же события. Тогда: где p – вероятность “успеха”, q=1-p – вероятность “неудачи”. Доказательство теоремы довольно таки громоздкое. Но данная схема оказала огромное влияние на развитие теории вероятности, и оказалась применима во многих практических задачах. Заметим, что теорема так же имеет более сильные формулировки и уточнения, но этот вопрос ребята, вы можете рассмотреть самостоятельно или встретится при учебе в Вузе. " width="640"

Схема Бернулли.

Нам дано некоторое случайное событие А, совершенно любое, тогда вероятность этого события обозначим Р(А). В нашей модели или схеме будем считать, что возможны всего два исхода: событие А произошло или событие А не произошло - .

Для краткости и удобства: - событие А, обозначим вероятность P(A)=p ; - событие .Вероятность неудачи обозначим q и тогда:

Теорема. (Схема испытаний Бернулли).

Пусть – вероятность наступления ровно k “успехов” в серии из n независимых повторений одного и того же события. Тогда:

где p – вероятность “успеха”, q=1-p – вероятность “неудачи”.

Доказательство теоремы довольно таки громоздкое. Но данная схема оказала огромное влияние на развитие теории вероятности, и оказалась применима во многих практических задачах. Заметим, что теорема так же имеет более сильные формулировки и уточнения, но этот вопрос ребята, вы можете рассмотреть самостоятельно или встретится при учебе в Вузе.

Схема Бернулли.

Пример. Для каждой задачи найти n – количество всех испытаний, к – количество успехов. p - вероятность успеха, q - вероятность неудачи. И требуемую вероятность в постановки задачи.

а) Какова вероятность того, что при 10 бросаниях монеты, орел выпадет ровно 9 раз.

б) 20 человек просят выбрать наугад месяца года, успешным выбором будем считать все месяцы лета и ноябрь с декабрем. Остальные месяцы будем считать не удачными. Какова вероятность того, что удачные месяцы выберут ровно 8 человек.

в) Игральный кубик бросают 30 раз. Удачным считается выпадение единицы или шестерки. Какова вероятность, что удачно выпадет кубик ровно 10 раз.

Схема Бернулли.

Решение.

а) Всего испытаний 10, значит n=10. Успешных испытаний должно быть 9, значит k=9.Вероятность выпадения орла или решки одинаковая и равна 0.5, то есть p=q=0.5. Воспользуемся схемой Бернулли:

б) Всего у нас 20 человек, n=20. Удачные месяцы должны выбрать 8 человек, k=8.

Найдем вероятность успеха. Всего у нас 12 месяцев в году, благоприятных нам: 3 месяца лета + ноябрь и декабрь. Тогда по классической формуле вероятности:

Воспользуемся схемой Бернулли :

в) Очевидно, что n=30. k=10. p=2/6. q=4/6

Схема Бернулли.

Теорема Бернулли оказала существенное влияние на развитие теории вероятности и математической статистики. Фактически она показала связь между классическим определением вероятности и статистическим определением вероятности . В теории вероятности есть такая теорема – Закон больших чисел . Давайте попробуем кратко объяснить ее смысл.

Предположим, мы проводим не которое испытание, например, подбрасываем монетку. Монетку мы подбрасываем ровно n раз. Выпадение орла k – раз. А выпадение решки: n-k раз. Статистически вероятность выпадения орла: k/n, а выпадения решки: (n-k)/n. Согласно классическому определению вероятности выпадения орла и решки будут равны 0.5. Так вот, при большом количестве проведенных испытаний, то есть чем больше n, тем больше статистическая вероятность будет стремиться к классической вероятности. Давайте сформулируем закон больших чисел.

Схема Бернулли.

Теорема. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈P(A).

Методы математической статистики позволяют вычислять достоверность и устойчивость полученных результатов. Так например если n≥2000, то достоверность полученных результатов получена с точностью до 0.03, то есть если опросили 2000 человек, и из них 520 дали требуемый ответ, то статистическая вероятность дачи требуемого ответа: 520/2000=0.26, так вот можно утверждать, что если будет опрошено много больше 2000 человек, то вероятность будет отличаться от исходной не больше чем на 0.03, то есть получится число из промежутка [0.23;0.29]. Такое явление называется статистической устойчивостью .

Схема Бернулли позволяет находить приближенное значение вероятности события, для тех случаев когда ее невозможно подсчитать напрямую.

Схема Бернулли.

Задачи для самостоятельного решения.

Для каждой задачи найти n – количество всех испытаний, к – количество успехов. p - вероятность успеха, q - вероятность неудачи. И требуемую вероятность в постановки задачи.

а) Какова вероятность того, что при 30 бросаниях монеты, орел выпадет ровно 15 раз.

б) 30 человек просят выбрать наугад время года, успешным выбором будем считать лето. Остальные времена будем считать не удачными. Какова вероятность того, что удачно выберут ровно 12 человек.

в) Игральный кубик бросают 50 раз. Удачным считается выпадение единицы, двойки, четверки или шестерки. Какова вероятность, что удачно выпадет кубик ровно 25 раз.