ПРЕЗЕНТАЦИЯ по дисциплине : «Математика» на тему: «ВВЕДЕНИЕ в ТЕОРИЮ ПРЕДЕЛОВ для последовательностей и функций»

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР «ДНЕСТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГЕТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ» ПРЕЗЕНТАЦИЯ по дисциплине : «Математика» на тему: «ВВЕДЕНИЕ в ТЕОРИЮ пределОВ для последовательностей и функций» Разработал преподаватель математики ГОУ СПО «ДТЭ и КТ» Демьянова Светлана Васильевна г. Днестровск, 2019 г.

Nвыполняется неравенство  " width="640"

Последовательность

• Опр . Числовой последовательностью 

называется функция                    , заданная на множестве N натуральных чисел.

Кратко обозначается                   

           - общий или n- ый член последовательности

Примеры:  

Число        называется пределом последовательности             если для любого положительного числа          найдётся такое натуральное число  N,  что при всех  n Nвыполняется неравенство 

0, что при всех    , удовлетворяющих неравенству             , выполняется неравенство " width="640"

  функция

• Определение Коши (в терминах           )

  Число А называется пределом функции 

   в точке        (при          ),  если для любого

найдётся число            , что для всех              , удовлетворяющих неравенству                      ,

выполняется неравенство

• Число А называется пределом функции               

при             , если для любого           существует такое 

число М0, что при всех    , удовлетворяющих

неравенству             , выполняется неравенство

Односторонние пределы

• Число      называется пределом функции              в точке      слева , если для любого            существует

            , что при                          выполняется неравенство

• Число      называется пределом функции              в точке      справа , если для любого          существует

            , что при                          выполняется неравенство 

0 существует          , что для всех    , удовлетворяющих неравенству                         , выполняется неравенство   Функция                 называется бесконечно малой     при             , если                    (б.м.величина)     Величина обратная б.м.ф. есть б.б.ф :      если         - б.м.ф.   (               ),    то            - б.б.ф,     Величина обратная б.б.ф. есть б.м.ф. :      если          - б.б.ф.  (             )  , то           - б.м.ф    " width="640"

Бесконечно большая и бесконечно малая функция

• Функция              называется бесконечно большой при             , если для любого числа М0 существует          , что для всех    , удовлетворяющих неравенству                         , выполняется неравенство  

• Функция                 называется бесконечно малой
•     при             , если                    (б.м.величина)

•     Величина обратная б.м.ф. есть б.б.ф :
•      если         - б.м.ф.   (               ),    то            - б.б.ф,

•     Величина обратная б.б.ф. есть б.м.ф. :
•      если          - б.б.ф.  (             )  , то           - б.м.ф   

Теоремы о бесконечно малых

  П усть       и         - бесконечно малые функции ,

– ограниченная функция. Тогда…

1. Сумма (разность) б.м.ф. есть б.м.ф.:

2. Произведение б.м.ф. есть б.м.ф.:                 

3. Произведение б.м.ф. и ограниченной есть б.м.ф.

4. Частное б.м.ф. и функции

  Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

Основные теоремы о пределах

• Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

• Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

• Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 

• Функция может иметь только один предел при 

Основные теоремы о пределах

• Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

• Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

        Замечательные пределы

1                                        2.

Признаки существования пределов

• Теорема о пределе промежуточной функции.

Если функция заключена между двумя функциями, стремящимися к одному и тому же пределу, то она стремится к этому пределу.

• Теорема о  пределе монотонной функции.

Если функция          монотонная и ограниченная 

при ,                           то существует соответственно её левый предел                                      

или её правый предел   

Эквивалентные бесконечно малые

при раскрытии неопределённости вида     ​п редел отношений функций равен пределу отношений производных этих функций. ​

Правило Лопиталя