Презентация по математике "Как люди научились считать"

Урок 16 математика Петерсон

Как люди научились считать

Арифметика каменного века

Числа и действия с ними не были придуманы каким−то одним человеком. Еще в самые отдаленные времена людям понадобились арифметические знания, чтобы определять, когда надо засеивать поля, начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.

Однако первобытные люди не умели считать. И вот много тысяч лет тому назад древние пастухи стали использовать различные предметы − по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по одному предмету каждый раз, когда очередное животное проходило в загон. И только убедившись , что вернулось столько же овец, сколько было предметов, он спокойно шел спать.

Но в стаде у первобытных людей были не только овцы − они пасли и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А землевладельцы с помощью глиняных фигурок, камушков, зарубок вели учет собранного урожая. Они отмечали, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Объединяя группы предметов и находя их части, они решали простейшие задачи на сложение и вычитание. Так древние люди готовились к освоению счета и действиями с числами.

Числа начинают получать имена

Перекладывать камушки и глиняные фигурки с места на место было довольно утомительным занятием. Но прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились пересчитывать предметы. Для этого им пришлось придумать названия для чисел.

О том, как появились имена у чисел, ученые узнают, изучая языки различных племен и народов. Например, оказалось, что у нивхов, живущих на Сахалине, числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играет форма предмета, так что по−нивхски в сочетаниях "два яйца", "два камня", "два глаза" и т.д. числительные различны. Одному и тому же русскому слову "два" у них соответствует несколько десятков различных слов. Нечто подобное было и у древних людей.

И должно было пройти много столетий, а может быть, и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применять к предметам любого вида. Вот тогда и появились общие названия для чисел.

Сначала названия получили только числа 1 и 2. Название для числа "один" связывалось обычно со словом "солнце", а название для числа "два" − с предметами, встречающимися попарно: крыльями, ушами и т.д. Но бывало, что числам 1 и 2 давали иные имена. Иногда их связывали с местоимениями "я" и "ты". А были языки, где "один" звучало так же, как "мужчина", а два − как "женщина".

У некоторых племен еще совсем недавно не было других числительных, кроме "один" и "два". А все, что шло после двух, называлось "много". Но потом понадобилось называть и другие числа. Ведь и собак у охотника, и стрел у него, и овец у пастуха может быть больше, чем две. И тут придумали замечательный выход: числа стали называть, повторяя несколько раз названия для единиц и двоек.

Например, на языке некоторых папуасских племен, живущих на острове Новая Гвинея в Тихом океане, и сейчас числительное "один" звучит "урапун", "два" − "окоза", а число 3 они называют "окоза−урапун", число 4 − "окоза−окоза". Так они дошли до числа 6, которое получило имя "окоза−окоза−окоза". А дальше у них идет уже знакомое нам название "много" (конечно, по папуасски). И 10 у них "много", и 100 тоже "много".

Позднее другие племена дали особое имя числительному, которое мы называем "три". А так как до того они считали "один", "два", "много", то это новое числительное стали применять вместо слова "много". И сейчас мать, рассердившись на сына, говорит ему: "Что, я три раза должна повторять одно и то же!" Русская пословица говорит: "Обещанного три года ждут". А в сказках злой царь посылает героя искать Кощея бессмертного "за тридевять земель, в тридесятое царство".

Иногда числом 3 обозначали окружающий человека мир − его делили на земное, подземное и небесное царства. поэтому число 3 стало у многих народов священным. Когда они придумывали легенды о богах, то выделяли из них трех самых главных.

В русских сказках число 3 также играло особую роль. Во многих из них участвуют три брата, герой сражается с трехглавым змеем, проходит три царства − медное, серебряное и золотое. Число 4 встречается в сказках куда реже. Но о том, что и оно на каком−то этапе развития играло особую роль, видно из русской грамматики.

Мы говорим: "одна лошадь", "две лошади", "три лошади", "четыре лошади". Казалось бы, все хорошо: после единственного числа идет множественное. Но, начиная с пяти, мы говорим "пять лошадей", "шесть лошадей", и будь их хоть миллион, а все равно − "лошадей". Значит, когда−то за числом 4 и в русском языке начиналась необозримая область "много".

На более поздних этапах в роли слова "много" выступало число 7. Об этом говорят различные пословицы и поговорки: "Семеро одного не ждут", "Семь раз отмерь − один отрежь", "Один с сошкой − семеро с ложкой", "Семь бед − один ответ", "Лук от семи недуг" и т.д. Так постепенно люди осваивали счет.

Первые названия чисел некоторые племена стали применять 20−25 тысяч лет тому назад. А вот слово для обозначения числа 1000 возникло лишь 5 − 7 тысяч лет назад.

Живая счётная машина

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны. Попробуйте сказать слово "сто", ползуясь папуасскими названиями "урапун" и "окоза". Придется 50 раз повторить слово "окоза". Нет, тут был необходим совершенно другой подход! И старые методы счета вытеснил новый метод − счет по пальцам.

Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было сосчитать до 5, а если взять две руки, то и до 10. Затем люди сделали следующий шаг вперед и научились считать десятками. Правда, для это го пришлось приглашать сразу много счетчиков. Знаменитый русский исследователь Новой Гвинеи Миклухо−Маклай должен был однажды объяснить папуасам, через сколько дней вернется к ним на корабль "Витязь". Для этого он нарезал кусочки бумаги, а папуасы должны были их сосчитать:

"Первый, раскладывая кусочки бумаги на колене, при каждом орезке повторял "наре, наре" (один−один); другой повторял слово "наре" и загибал при этом палец сначала на одной, затем на другой руке. Насчитав до 10 и согнув пальцы обеих рук, опустился на колени, проговорив: "две руки", причем третий папуас загнул палец одной руки. Со вторым десятком было сделано то же, причем третий папуас загнул второй палец; то же самое было сделано для третьего десятка; оставшиеся бумажки не составляли четвертого десятка и были оставлены в стороне". Итак, чтобы сосчитать всего лишь до 30, пришлось работать трем папуасам.

Пальцы оказались так тесно связаны со счетом, то на древнегреческом языке "считать" выражалось словом "пятерить". В русском языке слово "пять" напоминает "пясть" − часть кисти руки. А в Англии первые 10 чисел называт общим именем − "пальцы". Значит, и англичане когда−то считали по пальцам.

Сорок и шестьдесят

Похоже на то, что скачок от десятка к сотне был сделан не сразу. Следующим за 10 узловым числом у одни народов стало число 40, а у других − число 60.

Одно и то же милое существо называют по−русски и "сороконожка" и "многоножка", и даже "тысяченожка". Все эти названия говорят об одном: ног у этого существа много. Часто встречается число 40 и в старинных сказаниях. По одному из них, во время Всемирного потопа дождь шел 40 дней и 40 ночей.

Число 40 играло важную роль и в старой русской системе мер: в пуде считалось 40 фунтов, в бочке − 40 ведер и т.д.

То, что это число играло столь важную роль у русских и их предков, можно объяснить тем, что раньше в их жизни особое значение имело число 4. Поэтому, когда начали считать десятками, то именно 4 десятка стало самым большим числом. Но были народы, у которых в самой глубокой древности счет шел до шести. Когда они перешли на счет десятками, то особое имя получили у них не 4, а 6 десятков. Так случилось у шумеров и древних вавилонян. От них почитание числа 60 перешло к древним грекам.

Но самое удивительное, что следы счета десятками сохранились до наших дней. Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту − на 60 секунд. Так что самые точные часы хранят в себе память о глубокой древности.

Но потребности людей в больших числах росли и росли. Наступил момент, когда уже и 40, и 60, и даже 100 перестали казаться слишком большими числами. Тогда для того, чтобы сказать "очень много", стали говорить "сорок сороков" или "шестьдесят шестидесятков". А у народов, пользующихся сотней, идею большого количества чего− либо воплощала "сотня сотен". В русском языке она получила название "тьма" от монгольского "тумен", то есть отряд в 10000 воинов. И сейчас, увидев большую толпу, мы восклицаем: "Народу − тьма!" или даже "Тьма тьмущая!"

Операции на числами

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп рыболовов или сборщиков кореньев складывали в одно место свою добычу, они, по сути, объединяли не пересекающиеся множества. А когда из собранных орехов часть шла в пищу, люди находили оставшуюся часть множества − запас орехов уменьшался. Таким образом, создавалась основа для сложения и вычитания чисел.

С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. говорили: собрали урожай "сам−двадцать" (в двадцать раз больше, чем посеяли), "сам−сорок"

и т.д. Наконец, когда добытое на охоте мясо делили поровну между всеми членами племени, выполняли операцию деления.

Сами названия этих операций показывают, с какими действиями над предметами они связаны. Но должны были пройти тысячелетия, пока люди осознали, что, выполняя действия с группами предметов, они повторяют одни и те же операции. Они поняли, что каждый раз, когда кладут рядом два ореха и два ореха, получается 4 ореха, и что это верно и при сложении двух пальм с двумя пальмами, и двух рыб с двумя рыбами. Так люди узнали, что "два плюс два равно четырем". Постепенно, накапливая такие знания, они обучались выполнять действия над все большими и большими числами. Таким путем возникло учение о числах, необходимое для решения самых разнообразных практических зада

Система счисления

Когда людям приходилось считать на пальцах очень большие совокупности предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй − десятки, а третий − сотни, то есть десятки десятков. Он загибал один палец лишь после того, как у второго участника счета оказывались загнутыми все пальцы обеих рук. Такой счет единицами, затем десятками, затем десятками десятков, а там десятками сотен и т. д. лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов мира. Она называется десятичной системой.

Сначала говорили так: пять пальцев третьего человека, восемь пальцев второго и шесть пальцев первого. Но ведь это сколько времени надо произносить! Поэтому постепенно стали произносить короче. Вместо "палец второго человека" появилось слово "десять", а вместо "палец третьего человека" − "сто".

Вот и получилось: пятьсот восемьдесят шесть.

Сейчас десятичная система счисления применяется почти повсеместно. Но и теперь есть еще племена, которые довольствуются при счете пальцами одной руки. У них система счисления оказалась пятеричной. В странах, где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Поэтому довольно большое распространение получила двадцатиричная система счисления. Следы этого сохранились, например, во французском языке, где слово "восемьдесят" звучит как "четыре раза двадцать".

Самым серьезным соперником десятичной системы счисления оказалась двенадцатиричная. Вместо десятков применяли при счете дюжины, то есть группы из 12 предметов. Во многих странах даже теперь некоторые товары, например ножи, ложки, вилки, продают дюжинами. В чайный сервиз, как правило, входит по 12 чашек и 12 блюдец.

Кстати, в торговле еще в начале нашего века применяли и дюжину дюжин, которую называли гроссом (большой дюжиной). Так что, пересчитав предметы в двенадцатиричной системе, можно было сказать: пять гроссов, восемь дюжин и еще шесть предметов. В нашей системе обозначений это число

144 * 5 + 12 * 8 + 6 = 822

Откуда же взялся интерес к дюжине? В древних памятниках письменности число 12 встречается часто и всегда в какой−то особой роли. То у пророка оказывается ровно 12 последователей, то герой должен совершить как раз 12 подвигов, чтобы искупить свою вину. Год разделен на 12 месяцев, и даже Гулливер в книге Свифта в 12 раз выше, чем его лилипуты, и в 12 раз ниже, чем великаны. Чем объяснить такое почтительное отношение к числу 12?

Ответить на это вопрос помогла ученым глиняная табличка, на который был записан самый древний шумерский счет.

Оказывается, шумеры считали в древности не по пальцам, а по суставам пальцев. А на каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава − всего 12.

Несколько раз совершалась попытка ввести двенадцатиричную систему, то есть вместо десятков считать дюжинами и гроссами. Однако дальше разговоров дело не пошло: непосильной оказалась задача переучить всех на новые обозначения и правила счета.

Разумеется, победа новой десятичной системы счисления над всеми соперницами объясняется тем, что у человека на каждой руке по 5 пальцев. Было бы их по шесть, считали бы мы не десятками, а дюжинами. А если бы у нас, как у лошадей, на руках и ногах были копыта, то арифметика была бы такой же, как у папуасов, − мы считали бы парами.

Но странные повороты делает история!

Именно двоичная система счисления оказалась самой полезной для современной техники. На основе двоичной системы счисления работают современные компьютеры.

Первые цифры

Долгое время после того, как появились названия чисел, люди их не записывали. Причина для этого была самая уважительная − они еще не умели писать. Поэтому, если кому−нибудь надо было переслать другому человеку сведения, где участвовали числа, прибегали к зарубкам на дереве или на кости, к узелкам на веревках, рисунками на мягкой глине и т.д. Такие знаки уже нельзя было перекладывать с места на место, убирать одни и добавлять другие. Вместо этого приходилось думать, мысленно выполнять операции над знаками.

Но все же это еще не была настоящая арифметика. Знаки на глине обозначали не числа, а предметы − головы скота, мешки с зерном, кувшины масла. Их приходилось изображать столько же, сколько было предметов. С этим еще можно было мириться, пока учет велся в пределах одного хозяйства, одной деревни. Но когда возникали государства, старые методы обозначения чисел стали негодными. для записи больших чисел уже нельзя было обойтись ни зарубками на бирках, ни узелками, ни глиняными фигурками.

И вот примерно 5 тысяч лет тому назад было сделано замечательное открытие. Люди догадались, что можно обозначать знаком не одну голову скота, а сразу 10 или 100 голов, не один мешок зерна, а сразу 6 или 60 мешков.

Например, египтяне обозначали десяток знаком ∩ (единицу они обозначали просто вертикальной черточкой |, как это делаем мы), десять десятков, то есть сотню, − знаком похожим на Появились знаки для тысячи , десятка тысяч , ста тысяч и миллиона Задание .

Чтобы написать какое−нибудь число, египетский писец бесхитростно писал столько раз знак , сколько в этом числе тысяч, затем столько раз, сколько в оставшейся части сотен, и т.д.

Запись, показанная на таблице, означала, что в числе 2 тысячи, 3 сотни, 6 десятков и 7 единиц. Значит, в нашей нумерации это число 2367.

Писать много раз один и тот же знак, разумеется, весьма неудобно. Более экономной является позиционная система записи чисел, где имеет значение не только начертания цифры, но и ее позиция, положение среди других цифр. Позиционной является современная система записи чисел, которую мы изучаем в школе. Например, в числе 18 цифра 8 означает 8 единиц, в числе 82 − 8 десятков, или 80 единиц, а в числе 875 − 8 сотен, или 800 единиц.

Первая позиционная система записи чисел появилась в Вавилоне. Единица в ней обозначалась знаком, похожим на клин , а десяток − знаком, похожим на Задание . Дальше вавилоняне поступили почти так же, как это делаем сейчас мы.

Запись

означала 3 единицы высшего разряда (то есть 3 раза по 60), а дальше шло обозначение числа 25. Поэтому на табличке записано число: 60 * 3 + 25 = 205. Так что в основном разница между вавилонской и современной записью чисел была в одном: вместо числа 10 вавилоняне приняли за основу системы счисления число 60. Но было еще одно отличие, делавшее вавилонскую систему записи не совсем удобной: вавилоняне долгое время не знали нуля! Из−за этого запись числа 205 можно было прочитать совсем о другому. Представьте, что у нас нет нуля и мы не различаем запись чисел 47, 407, 470, 4007 и т.д. Вот и вавилонским писцам трудно было разбираться, какое именно число записано.

Немало различных способов записи чисел было создано людьми. В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком (титло)

э который писали над буквой. Первые 9 букв алфавита обозначали единицы, следующие 9 букв − десятки, а последние 9 букв − сотни. Число 10 тысяч называли словом "тьма". Вот некоторые из этих обозначений:

Всем известны римские цифры, которые употреблялись в Древнем Риме уже 2500 лет назад:

Остальные числа записываются этими цифрами с применением сложения и вычитания. Так, например, число XXVII означает 27, так как 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27. Если меньшая по значению цифра (I, X, C) стоит перед большей, то ее значение вычитается. Например, IV означает 4 (5 − 1 = 4), IX означает 9 (10 − 1 = 9). XC означает 90 (100 − 10 = 90). Таким образом, число MMIX означает 2009, так как 1000 + 1000 + (10 − 1) = 2009.

Римская нумерация сравнительно неудобна: записи чисел длинные, письменные вычисления производить невозможно. В этом легко убедиться, если выполнить, например, сложение чисел CCXVII и XLIX или умножение чисел XXXVII и IV. Римские цифры используют в настоящее время довольно редко, в основном для обозначения порядковых числительных.

Открытие нуля

Интересны были различные методы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были все новые и новые знаки. Один из величайших древнегреческих математиков Архимед научился называть громадные числа, но обозначать их он не умел. Не хватало ему самой малости. Архимед, один из гениальнейших математиков в истории человечества, не додумался до... нуля!

Знакомясь в первом классе с числом 0, вряд ли кто−нибудь себе представлял, что это одно из величайших изобретений в математике. Только после того, как люди научились обозначать пропущенные разряды в позиционной записи чисел, они получили в руки могучее орудие природы. Без нуля не были бы возможны многие современные научные достижения, например полеты на космических кораблях и изобретение компьютеров.

Впервые нуль был придуман вавилонянами примерно две тысячи лет тому назад. Но они применяли его лишь для обозначения пропущенных разрядов в середине числа. Писать нули в конце записи числа они не догадались.

В Индии примерно в IX веке нуль был присоединен к девяти цифрам и появилась возможность обозначать этими десятью цифрами любое число, как бы велико оно ни было.

И самое главное, запись таких гигантских чисел стала довольно короткой. Если бы живший 30 тысячелетий тому назад древний человек имел представление о миллионе и захотел бы изобразить это число с помощью зарубок, делая одну зарубку в минуту по 8 часов каждый день, ему потребовалось бы для этого около 6 лет. Теперь же вся запись умещается в одной строке.

Приведем название некоторых больших чисел с указанием числа нулей после единицы.

Индийской системой обозначений мы пользуемся до сих пор. Это не значит, что индийский цифры имели с самого начала современный вид. В течении многих столетий, переходя от народа к народу, они много раз изменялись, пока приняли современную форму. Арабы заимствовали у индийцев цифры и позиционную десятичную систему записи чисел. Европейцы в свою очередь узнали ее от арабов. Поэтому наши цифры, в отличие от римских, стали называться арабскими. Правильнее было бы называть их индийскими. Они употребляются в нашей стране начиная примерно с XVII века.

О бесконечности натуральных чисел

Существует ли самое большое натуральное число?

Долгое время люди давали положительный ответ на этот вопрос. Вначале самым большим числом было 2, затем 3, 4 и т.д. В Древней Руси о числе 10000 говорили "тьма", то есть тёмное число, которое нельзя ясно представить. В Древней Греции считалось, то самым большим числом является число песчинок на земле.

Со временем людям пришлось полностью отказаться от мысли о самом большом натуральном числе. Еще древнегреческий ученый Архимед в книге "Псаммит" ("Счет песчинок") доказал, что счет можно продолжать неограниченно. Однако потребовалось многие века для того, чтобы идея бесконечности натурального ряда чисел стала общедоступной.

Что же таится за многоточием в записи: 1, 2, 3 ...? Как представить себе слова: "Натуральный ряд чисел бесконечен"?

Возьмем полоску и будем писать на ней 1, 2, 3, 4, 5 ... Даже если взять полоску длиной в 1 км, то, когда мы ее всю испишем, процесс написания чисел не окончится. Поэтому возьмем полоску побольше. Например, равную расстоянию от Бреста до Владивостока. Чтобы всю ее заполнить числами, придется несколько лет идти с запада на восток. Но все равно, хотя написанные числа будут очень большими, за каждым из них идет следующее.

Не окончится наша работа и тогда, когда мы намотаем полоску, как клубок ниток, на земной шар сто, двести, миллион раз. Вот уже полоска обошла земной шар так много раз, что под ней оказались самые высокие горы, внутрь нашего фантастического шара попали орбиты далеких планет и даже самые далекие от нас туманности. И сколько бы на писали эти числа мы, наши дети и внуки, конца этому процессу никогда не будет.

Вот что значит такая простая запись: 1, 2, 3 ...

Прочитай числа, записанные в таблице. Что обозначает цифра 8 в их записи?