Презентация по математике в 11 классе "нахождение наибольшего и наименьшего значения функции"

Урок в 11 А классе

Учитель : Чибирова И.Л.

« В мире не происходит ничего,

в чем бы ни был виден смысл

какого-нибудь максимума или минимума!»

Леонард Эйлер

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ - 6;3]. График её производной изображен на рисунке. Определите промежутки возрастания и убывания функции f(x) .

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ -5 ; 4 ]. График её производной изображен на рисунке. Определите точки максимума и минимума функции f(x) .

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ - 5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите сколько существует точек на графике функции f( х ) , касательные в которых параллельны прямой y = 5 – 2x .

у

5

4

2

1

х

1

-5

6

-7

0

у наиб. = 4

[-5; 6]

у наиб. = 5

[-7; 6]

6

у

х

4

6

-7

0

- 2

-3

-4

у наим . = - 3

[- 7 ; 4 ]

у наим. = - 4

[-7; 6]

7

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

по её графику

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Цели урока:

° ВЫВЕСТИ АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. ° РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.

Если функция f(x) возрастает (убывает) на [a;b] , то наибольшего или наименьшего значения она достигает на концах этого отрезка .

Если функция у = f(х) на отрезке [ а ; b ] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение

fmax = f наиб. fmin = f наим.

Наибольшего (наименьшего) значения непрерывная на [ а ; b ] функция достигает либо на концах отрезка , либо в критических точках , лежащих на этом отрезке.

Проанализируйте все рассмотренные случаи. В каких точках функция достигает наибольшего (наименьшего) значений?

Выводы

1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

2.Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3.Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в критической точке.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у = f(x) на отрезке [a;b]

1 . Найти производную f´( х)

2. Найти критические точки функции, лежащие внутри o трезка [a;b]

3. Вычислить значение функции у= f(x) в точках,

отобранных на втором шаге, и в точках a и b .

Выбрать среди этих значений наименьшее

( это будет у наим )и наибольшее (это будет у наиб )

Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

Найдите наименьшее значение функции

y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4]

Этапы

1. Найти f / (x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее

1) y / = 3x 2 – 27

-3

3

2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

x = 3

[0; 4]

x = –3

[0; 4]

3) y (0) = 0

y (4) = 4 3 – 27 4 = – 44

y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54

-

4

5

х

3

х

1

0

Другой способ решения

Найдите наименьшее значение функции

y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4]

Этапы

1. Найти f / (x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в критических точках

и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее

1) y / = 3x 2 – 27

-3

3

2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

–

+

+

y \

4

0

x

y

-3

3

min

Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.

Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

3)

y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54

-

4

5

х

3

х

1

0

Этот способ будет удобно

вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

2.

Найдите наибольшее значение функции y = x 3 – 3 x + 4

на отрезке [ – 2 ; 0 ]

Значения функции в концах отрезка.

1) y (0) = 4

y (-2) = (-2) 3 – 3 (-2) +4 = 2

-1

1

2) y / = 3x 2 – 3 = 3(x 2 – 1 ) = 3(x – 1 )(x + 1 )

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

x = 1

[ -2 ; 0 ]

x = – 1

[ -2 ; 0 ]

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

y (-1) = (-1) 3 – 3 (-1) + 4 = 6

Выбрать наибольшее из полученных значений.

6

х

3

х

1

0

5 . 2). Второе число – отрицательно e. 3). Значит, наибольшее число 1. Значения функции в концах отрезка .   /  / /  uv u v uv Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. 7 x = 7 [ 3 ; 10 ] Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 1 Выбрать наибольшее из полученных значений. 1 х 3 х 1 0 20 " width="640"

3.

Найдите наибольшее значение функции

на отрезке [ 3 ; 10 ]

1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e 4 5 .

2). Второе число – отрицательно e.

3). Значит, наибольшее число 1.

Значения функции в концах отрезка .





/



/

/



uv

u

v

uv

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

7

x = 7

[ 3 ; 10 ]

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

1

Выбрать наибольшее из

полученных значений.

1

х

3

х

1

0

20

Можно рассуждать иначе

Найдите наибольшее значение функции

y = ln(x+5) 5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]

4.





1

/

lnx



x

1. Найти f / (x)

y = 5ln(x+5) – 5x

Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

x = -4

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

[-4,5; 0]

y \

–

+

–

+

-4,5

0

y

x

-4

-5

max

Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.

Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

0

3. Вычислить значения функции в критических точках

и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее.

2

0

х

3

х

1

0

5.

Найдите наименьшее значение функции

y = 5 cosx – 6x + 4 на отрезке





/

cosx



– sinx

1. Найти f / (x)

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у /

Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

1

9

х

3

х

1

0

6.

Найдите наибольшее значение функции

y = 3 tgx – 3 x + 5 на отрезке



1



/

tgx



cos 2 x

1. Найти f / (x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок

4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего.

-1

0

5

х

3

х

1

0

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших , оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию.

ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м 2 . Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м 2 . Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

0 " width="640"

Из всех прямоугольников с площадью 9 м 2 ,найти прямоугольник, периметр которого наименьший.

1. S= a*b = 9 ( м 2 ) Р =( a+b)*2 (м)

х - ширина прямоугольника

9./х – длина прямоугольника

Р= ( х+9/х) * 2

2.

3. Рассмотрим функцию у=( х+9/х) * 2

х0

Найдем наименьшее значение по известному алгоритму

Ответ: шит имеет форму квадрата со стороной 3м

Задача 2

. Кусок проволоки 48 метров сгибают так, чтобы получился прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

• Решение: Пусть длина- а см. ширина –в см. Тогда периметр 2(а+в) а по условию 48 см. Площадь а*в полупериметр а+в=24 см Чтобыперейти к функции , вводим новое обозначение : длина х см, ширина 24-х см, тогда площадь х(24-х)=24х-х 2 должна быть наибольшей. Применяем заданный алгоритм 24х-х 2 ) 1 =24-2х 24-2х=0 х=12 критическая точка
• Находим значения функции при х=0 х=12 и х=48 ( на концах промежутка 0,48) f (0)=0 f (12)=144 f (48)= -1152: площадь будет наибольшей , если стороны равны по 12 см данный прямоугольник -квадрат.

Рефлексия.

• 1.Каковы ваши главные результаты, что вы поняли, чему научились?
• 2.Способы, которые использовались в ходе вашей учебной деятельности для достижения цели урока
• 3.Какие чувства испытывали во время урока?
• 4.Пережили ли вы чувство радости, успеха?
• 5.С каким настроением вы уходите с урока?

Домашнее задание

• Уровень «А»: № 938 , № 940

• Уровень «В»: № 944

• Уровень «С»: № 947