Презентация по теме "Планиметрия. Повторение"

Планиметрия

Повторение

Углы и их свойства

Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°

α

α

Углы со взаимно-перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются восемь углов, которые попарно называются:

• соответственные углы (4 и 5; 6 и 7 ; 1 и 2 ; 3 и 8 ): попарно  равны
• внутренние накрест лежащие углы (2 и 7 ; 3 и 4): попарно равны
• внешние накрест лежащие углы ( 1 и 6; 5 и 6): попарно равны
• внутренние односторонние углы (2 и 3 ; 4 и 7): их сумма равна 180° (2 + 3 = 180°; 4 + 7 = 180°)
• внешние односторонние углы   (1 и 8 ; 5 и 6); их сумма равна 180° ( 1 + 7 = 180°; 2 + 8 = 180°)

a||b, c - секущая

Треугольники

• Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны
• Второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
• Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Треугольники

Сумма углов треугольника равна 180 °

Неравенство треугольника:

Теорема синусов:

Теорема косинусов:

Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника

Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

Площадь треугольника

h a

,

где p – это половина периметра треугольника

Подобие треугольников

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Подобие треугольников

B

A 1

B 1

M

N

O

A

C

B

A

Прямоугольный треугольник

А

c

b

С

B

a

Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы

Медиана треугольника

С

С

m c =R

m c

А

m c

М

В

А

С

В

О

m c

В

А

М

m c - медиана, биссектриса и высота

Биссектриса треугольника

В

В

А 1

а

с

О

L

С

А

С

у

х

В 1

A

Высота треугольника

B

β

H

c

h a

A

γ

b

C

Четырехугольники

самопересекающийся

выпуклый

невыпуклый

Сумма углов четырехугольника равна 360 °

B

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°

C

A

D

B

Выпуклый четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны

C

A

D

Выпуклые четырехугольники

выпуклый четырехугольник

Параллелограмм стороны параллельны

Трапеция 2 стороны параллельны, 2 другие – нет

Прямоугольник углы прямые

Ромб стороны равны

Равнобедренная трапеция боковые стороны равны

Прямоугольная трапеция одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям

Квадрат стороны равны

Трапеция

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

Параллелограмм

Противоположные стороны параллелограмма равны

Противоположные углы параллелограмма равны

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°

Диагонали прямоугольника равны

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам

Прямоугольник и ромб

Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности

d 1

d 2

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).

Правильные многоугольники

R

R

r

r