Презентация по теме "Сложение и вычитание векторов"

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Сложить коллинеарные противоположно направленные вектора

а

в

а + в

.

О

Векторы а и в коллинеарные , найти сумму векторов.

а

а

С

в

в

а + в

а

О

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА

в

в

• От конца вектора а отложить вектор в, равный вектору в ;
• Провести вектор из начала вектора а в конец вектора в.
• ВЫВОД: полученный вектор и будет суммой векторов а и в.

в

а+в

а

а

а

а + в

а

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

• От начала вектора а отложить вектор в, равный вектору в;
• На векторах а и в как на сторонах построить параллелограмм ;
• Провести из общего начала векторов а и в вектор –диагональ параллелограмма.
• ВЫВОД: полученный вектор будет суммой векторов а и в.

а

в

в

а 3

ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА

1 ) От конца вектора а 1 отложить вектор а 2 ,

равный вектору а 2;

2) Повторить откладывание векторов столько раз , сколько векторов нужно отложить;

3) Провести вектор из конца вектора а n в начало а.

ВЫВОД: полученный вектор в и будет суммой векторов а 1 , а 2 , а 3 ,… и а n

А 5

а 4

А 1

а 1

А 4

А 2

а 3

а 2

А 3

1

а 2

а 1

а 4

ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Для любых векторов а , в и с справедливы равенства:

1) а + в = в + а --- переместительный закон

2) ( а + в ) + с = а + ( в + с ) --- сочетательный закон

А

а + в

ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН.

1.Доказательство: Рассмотрим случай ,когда векторы а и в не коллинеарны.

ОТ произвольной точки А отложим векторы

АВ = а и АD = в и на этих векторах построим параллелограмм АВСD. По правилу треугольника АС = АВ + АD = а + в.

Аналогично АС= АD + DС = в + а. Отсюда

Следует ,что а + в = в + а,

в

С

В

а

а

D

в

• СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН.

Доказательство . От произвольной точки А отложим вектор АВ = а , а от точки В вектор ВС = в , от точки С вектор СD=с. Применяя правило треугольника , получаем:

(а + в ) + с = ( АВ + ВС )+ СD =АC+СD =АD

а + ( в + с) = АВ + (ВС + СD)=АВ + ВС = А D. Отсюда

следует , что ( а + в ) + с = а + ( в + с). Теорема доказана.

в

В

С

а

с

.

D

А

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

а

а

а- в

а

в

в

в

Разностью векторов а и в называется такой вектор , сумма которого с вектором в равна вектору а

Теорема : Для любых векторов а и в справедливо равенство

а – в = а +( - в ).

Доказательство. По определению разности векторов

( а – в ) + в =а. Прибавив к обеим частям этого равенства

вектор (-в), получим (а – в ) + в + (-в)= а+ (-в),или

(а – в ) +0=(-в), откуда а – в = а + (-в).

- в

А

В

а

.

а

а -в

в

О

Задача №754

Дано:

А)

х + y

х

В)

у

x +z

z

C)

z +y

Задача №755

Дано:

а

e

d

а

а +в +с + d +е

в

с

в

с

d

е

Задача № 756.

Дано:

- х

-y

x -z

-z

у

х

x

x

y

z

х - у

z - y

z

y

у

ЗАДАЧА : используя правило треугольника , постройте векторы ОА = а +в

а

а

АА

ОА

в

в

ЗАДАЧА: используя правило параллелограмма

постройте векторы ОР =х + у

P

х

Х+У= ОР

O

у

х.

у

Задача : Используя правило треугольника, найдите сумму векторов: а) РМ и МТ, б) СН и НС,

в) АВ + 0,г) 0 +СЕ.

Решение: а)РМ + МТ = РТ

б) СН +НС= СС= 0

в) АВ + 0 = АВ

г) 0 + СЕ= СЕ

З адача : Используя правило треугольника, постройте векторы ОА = а + в и CВ = а +в.

Определите вид четырехугольника ОАВС.

в

А

М

а

в

К

В

а

а

о

в

С

Отложим от точки О вектор ОМ = а и от точки М вектор МА = в, тогда

ОА=ОМ + МА. Аналогично строим СК = а и КВ = в, тогда СВ = СК+КВ.

Т.к. ОА = а + в и CВ = а + в, то ОА=CВ , поэтому четырехугольник- параллелограмм.